[Codeforces Round #794 (Div. 2) E](https://codeforces.com/contest/1686)

Codeforces Round #794 (Div. 2) E

题意：给你一个括号序列，请输出最少翻转次数以及方案，使得该括号序列成为一个合法序列。

题解：个人感觉是相当不错的一道思维题。

首先，我们不难想到要让括号序列做一个转换，'(' 变为1，')'变为-1，最后成为一个整数数组，如果这个数组的全部前缀和都是非负数，则证明这个序列一定是合法括号序列。

接下来的这个性质就非常有意思。

性质1：任何题意中的括号序列，最多只需要两次就可以变换为一个合法序列。

这个性质好像神来之笔，其实也有迹可循，我们希望所有的前缀和都是一个非负数，结合翻转，我们发现一个所有前缀和之中，前缀和最大的位置或许很有用。

不妨假设前缀和最大的位置为\(i\)(如果有多个位置最大，任取其中一个),顺便定义原数列的前缀和数组\(pre\).

我们可以发现,如果我们把\([1,i]\)做个翻转,不难看出翻转后的前缀和为\(pre_i - pre_j (j<=i)\),这个一定满足非负 .那么如果\(j>i\)呢,也非常简单,我们只需要把\([i+1,2*n]\)再做个翻转就好，简单证明如下，首先数列无论如何翻转，最后所有数的和一定是0，我们可以得到，翻转后的后缀和其实等于\(pre_j - pre_i\),由于\(pre_i\)一定最大，所以\(pre_j - pre_i <= 0\),则前缀和为\(0-(pre_j - pre_i)>=0\),得证。

那么既然最多为2次，我们就只需要考虑，0次和1次翻转就合法的情况了，首先0次的，就是在一开始判断一下，很好处理，我们仔细思考一下关于一次翻转就合法的情况。

首先我们找到所有\(pre_i\)为负数的情况，定义其中最小的为\(l\),最大的为\(r\)，我们首先可以发现如果最后翻转的区间为\([L,R]\),则一定要满足\(L<=l,R>r\),简单证明如下，如果不满足的话，那么一定有前缀为负值，那么一定不合法。但是得到这个结论之后，发现情况还是太多，我们需要更进一步的性质。

那么，新性质来了。

性质2：如果存在\([L,R]\)翻转使得原序列合法,那么\([L_1+1,R_1]\)翻转也一定合法。我们定义\(L_1\)为所有满足\(L<=l\)之中前缀最大的位置，\(R_1\)也同理，为满足\(R>r\)之中前缀最大的位置.

接下来为简单证明: 首先\([L,R]\)之外的前缀一定满足合法条件,除此之外,如果全部满足\(pre_{R_1} - pre_i + pre_{L_1} >= 0\),则证明合法，对于\(L_1 <= i <= R_1\),如果存在\(pre_{R_1} + pre_{L_1} < pre_i\),则有\(pre_i > pre_{L_1}\)与条件矛盾，由此，可反证性质成立。