DP的常用模型大总结

DP的常用模型大总结（1）

数字三角形模型

1. 这个模型可能是基本所有人初学dp的时候，都会接触到的。就是给你一个三角形的数阵，让你从底往上走，找到所有路径中权值和最大/最小的那条路径。这是最基础的情况，做法不赘述。
2. 扩展1：三角形变成矩形，从左上角到右下角，只能向下走或者向右走。
3. 扩展2：同样是矩形，不过是走两次，找出最大的权值和，一个点的权值在取一次后变成0，权值可以是负数，注意这个扩展跑两次扩展1的做法是不对的，局部最优+局部最优不一定是全局最优。
4. 扩展3：同样是矩形，变成取k次，同样是找出最大的权值和，这个问题k小的情况下同样可以使用dp解决，但其本质上是图论中的费用流问题。

最长上升子序列模型

1. 找到一个序列\(a\)的最长上升子序列，朴素方法是\(O(n^2)\)的，具体方法是假设\(f[i]\)的含义是以第i个数为结尾的的最长子序列的长度，确定\(f[i]\)的方法就是遍历前面i-1个数，假设遍历下标为k，找出所有满足\(a[k] < a[i]\)中\(f[k]\)最大的做转移即可。
2. 扩展1：求先递增再递减或者先递减再递增的最长序列长度。
3. 扩展2：最大上升子序列和的问题，就是问你上升子序列的权值和最大是多少。
4. 扩展3：需要几个上升子序列才可以不重不漏的把原序列全部覆盖。
5. 扩展4：需要几个上升或者下降子序列才可以把原序列不重不漏的覆盖掉。

• 优化1：使用一个数组\(a[i]\)表示最长上升子序列长度为i的的最低高度，注意倒序更新去掉后效性，最后数组大小即是最长上升子序列的长度，如果要输出方案，记录每个位置的更新下标，使得更新下标有序就是合法方案。如果问合法方案的种数，可以转化为图的路径条数问题去解决。
• 优化2：时间复杂度\(O(nlogn)\),建个有序表，保证h单调的同时w也单调。也就是优化方法1加上了二分。

最长公共子序列模型

1. 时间复杂度\(O(n^2)\),具体方法略（不赘述了，网上关于这个的其它博客太多了）

2. 扩展1：最长上升公共子序列，如果第一次做就能想出来，说明你对dp很有天赋，恭喜，方法如下，

   \[我们定义f[i][j] 为A序列在使用第i个的情况下，末端为B[j]的最长上升子序列的长度。那么转移方式的就是f[i][j] = max{f[i-1][k],b[k] < b[j]}，时间复杂度是O(n^2) \]

背包问题有崔添翼老师的背包九讲珠玉在前，想对这个模型有更加深入了解的可以读一下那篇经典的文章。

背包dp（01背包）