求最长不下降序列

【例9.3】求最长不下降序列

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【题目描述】

设有由n(1≤n≤200)n(1≤n≤200)个不相同的整数组成的数列，记为:b(1)、b(2)、……、b(n)b(1)、b(2)、……、b(n)且b(i)≠b(j)(i≠j)b(i)≠b(j)(i≠j)，若存在i1<i2<i3<…<iei1<i2<i3<…<ie且有b(i1)<b(i2)<…<b(ie)b(i1)<b(i2)<…<b(ie)则称为长度为e的不下降序列。程序要求，当原数列出之后，求出最长的不下降序列。

例如13，7，9，16，38，24，37，18，44，19，21，22，63，15。例中13，16，18，19，21，22，63就是一个长度为7的不下降序列，同时也有7 ，9，16，18，19，21，22，63组成的长度为8的不下降序列。

 

【输入】

第一行为n,第二行为用空格隔开的n个整数。

【输出】

第一行为输出最大个数max(形式见样例)；

第二行为max个整数形成的不下降序列,答案可能不唯一，输出一种就可以了，本题进行特殊评测。

【输入样例】

14
13 7 9 16 38 24 37 18 44 19 21 22 63 15

【输出样例】

max=8
7 9 16 18 19 21 22 63

【来源】

 

一、分析

     初始化为三部分：原数，从i到n目前最长的不下降长度，游标指向下一个点。

    动态规划的核心是

    第一步构建动态规划算法的核心，第一满足不下降，并且满足不下降的条件下还要找一个最长的作为拼接的对象，即

     b[j]>=b[i] 条件的同时还要max{b[j][2] | j=1->i+1}即选一个最长的拼接。

for(i=n-1;i>=1;i--)
{
maxx=0;
k=0;
for(j=i+1;j<=n;j++)
{
if(b[j][1]>=b[i][1]&&b[j][2]>maxx)
{
maxx=b[j][2];//更新最值 
k=j;//游标 
}

时间复杂度为o(n*(n-1)/2)即为O(n*n)

反思：时间复杂度可以优化吗？如果我们每次将最大的长度记下来，下一次循环直接比或直接从大到小比，一旦命中就break你看行不行？

二、代码

第一种方式从后向前

 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,i,j,k,b[1005][4];
int maxx;
int main(){

cin>>n;
for(i=1;i<=n;i++)
{
cin>>b[i][1];
b[i][2]=1;
b[i][3]=0;
}
for(i=n-1;i>=1;i--)
{
maxx=0;
k=0;
for(j=i+1;j<=n;j++)
{
if(b[j][1]>=b[i][1]&&b[j][2]>maxx)
{
maxx=b[j][2];//更新最值
k=j;//游标
}

}
if(maxx>0)//如何找到了
{
b[i][2]=maxx+1;
b[i][3]=k;
}

}
k=1;
for(j=1;j<=n;j++)
if(b[j][2]>b[k][2])k=j;

cout<<"max="<<b[k][2]<<endl;
while(k!=0)
{
cout <<b[k][1]<<" ";
k=b[k][3];
}
return 0;
}

注意：红色部分必须要有，书上是错误的。要不然不能100%

 

第二种方式从前向后，

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1005;
int a[maxn],i,j,k,maxx,c[maxn],num[maxn],b[maxn];
//数组b记录从i位置到n的最长不下降序列长度，
//数组c表示从i位置开始最长不下降序列的下一个位置，若c[i]==0,则表示后面没有链接项。
int main()
{
int n;
cin>>n;
for(i=1;i<=n;i++)
{cin>>a[i]; //输入数组，并将b和c初始化
b[i]=1;
c[i]=0;}

for(i=1;i<=n;i++) //求最长不下降序列
{
maxx=0;
k=0;
for(j=1;j<=i-1;j++)
if(a[j]<=a[i]&&b[j]>maxx)
{
maxx=b[j];
k=j;
}
if(maxx>0)
{
b[i]=maxx+1;
c[i]=k;
}
}
k=1;
for(j=1;j<=n;j++) //求最长不下降序列最后位置
if(b[j]>b[k]) k=j;

cout<<"max="<<b[k]<<endl;
i=0;
while(k!=0) //因为不是倒着搜索的，我只能将数组fu给另一个，然后倒着输出
{
num[i]=a[k];
k=c[k];
i++;
}
for(j=i-1;j>=0;j--)
cout<<num[j]<<" ";
return 0;

这种方式要借用数组倒序输出，相比较而言，从后向前更顺点。