博弈

巴什博奕： 一堆有n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次取出物品为ｍ（1<= m)。 最后取光者得胜。

        如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：如果n=（m+1）r+s，（r为任意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k（≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下（m+1）（r-1）个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。

定义两个概念：  必胜点   你取这点必胜  　　判断是必胜点 ：下一步可以走到必败点  

　　　　　　　  必败点   你取这点必败  　　判断是必败点  ：下一步可以走到的全是必胜点 

题目链接:

　　http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1847

　　http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1846

 

Nimm Game:

 问题： 有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，

 分析：（网上的）我们用（a，b，c）表示某种局势，首先（0，0，0）显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是（0，n，n），只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致（0，0，0）。仔细分析一下，（1，2，3）也是奇异局势，无论对手如何拿，接下来都可以变为（0，n，n）的情形。

    计算机算法里面有一种叫做按位模2加，也叫做异或的运算，我们用符号（+）表示这种运算。这种运算和一般加法不同的一点是1+1=0。先看（1，2，3）的按位模2加的结果：

1 = 二进制 01

2 = 二进制 10

3 = 二进制 11 （+）

———————

0 = 二进制 00 （注意不进位）

对于奇异局势（0，n，n）也一样，结果也是0。任何奇异局势（a，b，c）都有a（+）b（+）c =0。

如果我们面对的是一个非奇异局势（a，b，c），要如何变为奇异局势呢？假设 a < b< c,我们只要将 c 变为 a（+）b,即可,因为有如下的运算结果: a（+）b（+）(a（+）b)=(a（+）a)（+）(b（+）b)=0（）0=0。要将c 变为a（+）b，只要从 c中减去 c-（a（+）b）即可。

 

总结：     

　　》最后取光为胜：  每堆个数(x1, x2, x3, …, xn) 当且仅当 x1 xor  x2  xor  x3  xor  …  xor  xn = 0。 （xor 代表 异或）时，         先手者胜~~~~       

　　》最后取光为败：   1. 每堆个数都为1 时            堆数偶数 ——先手胜，   堆数奇数——先手败         

　　　　　　　　　　　2. 每堆个数(x1, x2, x3, …, xn) 当且仅当 x1 xor  x2  xor  x3  xor  …  xor  xn = 0。 （xor 代表 异或）时，      先手者败~~~~

 

题目链接：

　　http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1849  // 最后取光者胜

　　http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1907  // 最后取光者败

 

SG ：

　　问题：有N堆石子，每堆有ni个，每次可以取si（几个特定的数）个，两个人轮流取。   

　　定义mex (minimal excludant) 运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。

　　　　例如： mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、 mex{}=0
     对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的Sprague-Garundy函数 g 如下：

　　　　g(x)= mex{  g(y)  |  y 是 x的后继  }。
     SG函数的性质。首先，所有的没有出边的顶点，其SG值为0，因为它的后继集合是空集。然后对于一个 g(x) = 0的顶点x，它的所有后继 y 都满足  g(y) != 0。

对于一个 g(x) != 0 的顶点，必定存在一个后继 y  满足 g(y) = 0。
 　　例如：取石子问题，有1堆X个的石子，每次只能取{1，3，4}个石子，先取完石子者胜利，那么各个数的SG值为多少？
 　　sg[0]=0，f[]={1,3,4},
 　　　　x=1时，可以取走1-f{1}个石子，剩余{0}个，mex{sg[0]}={0}，故sg[1]=1；
　　　　 x=2时，可以取走2-f{1}个石子，剩余{1}个，mex{sg[1]}={1}，故sg[2]=0；
　　　　 x=3时，可以取走3-f{1,3}个石子，剩余{2,0}个，mex{sg[2],sg[0]}={0,0}，故sg[3]=1；
　　　　 x=4时，可以取走4-f{1,3,4}个石子，剩余{3,1,0}个，mex{sg[3],sg[1],sg[0]}={1,1,0},故sg[4]=2；
　　　　 x=5时，可以取走5-f{1,3,4}个石子，剩余{4,2,1}个，mex{sg[4],sg[2],sg[1]}={2,0,1},故sg[5]=3；
　　　　 ··· 
求ＳＧ值：
　　1.可选步数为1~m的连续整数，直接取模即可，SG(x) = x % (m+1);
　　2.可选步数为任意步，SG(x) = x;
　　3.可选步数为一系列不连续的数，用GetSG()计算。

题目链接：

　　　　http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1536

 

威佐夫博弈：

　　

有两堆石子，数量为a,b，(a, b任意可以不同）。

游戏规则：

    两个人轮流取石子。

  　　 》 在任意的一堆中取走任意多的石子；

  　　 》 在两堆中同时取走相同数量的石子。

　　最后取完的人为胜。

结论：    

    c = min(a, b)

    d = abs(a-b)

    e = (1+sqrt(5.0))/double(2.0);

    if( (int)(d*e)  == c )    败     

    else     胜

题目链接： http://poj.org/problem?id=1067

 

Ferguson博弈：

 　　进行游戏需要用到两个盒子。第一个盒子中有n枚石子，第二个盒子中有m个石子(n, m > 0)。       操作：清空一个盒子中的石子，然后从另一个盒子中拿若干石子到被清空的盒子中，使得最后两个盒子都不空。当两个盒子中都只有一枚石子时，游戏结束。最后成功执行操作的玩家获胜。

      结论：(x,y)至少一偶时，先手胜；都为奇时，先手败

题目链接： http://acm.csu.edu.cn/OnlineJudge/problem.php?id=1104

 

 

Chomp!：

　　情人节的时候，潘典安买了一块长方形的棋盘巧克力，和他最爱的女友一起吃，巧克力由n*m块格子组成。为了增加情人节的情趣，潘典安和她女友轮流选择一个格子，并把这个格子右面，上面和右上方的巧克力全部取走。取到左下角格子的玩家输，就要给对方一个热烈的吻。假设每次都是潘典安先手，他是否存在必胜策略呢？

　　结论: 除了1*1的棋盘，对于其他大小的棋盘，先手总能赢。

 

 Fibonacci:

　　 有一堆个数为 n 的石子，游戏双方轮流取石子，满足：
    　　　1. 先手不能在第一次把所有的石子取完。 
    　　　2. 之后每次可以取的石子数介于 1 到对手刚取的石子数的 2 倍之间（包含 1 和对手刚取的石子数的 2 倍）
     约定取走最后一个石子的人为赢家，求必败态。   
     结论：先手胜 当且仅当n不是Fibonacci数。
     定理：任何正整数可以表示为若干个不连续的 Fibonacci 数之和。