VP Educational Codeforces Round 77 (Rated for Div. 2)

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A. Heating

题意：最多选\(n\)个非负整数，使得它们的和为\(m\)，花费为每个数的平方之和。求最小花费。

应该让每个数都尽量接近。那么每个数至少为\(\lfloor \frac{m}{n} \rfloor\)，有\(m\% n\)个数需要加一。

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void solve() {
    int n, m;
    std::cin >> n >> m;
    i64 t = m / n;
    i64 ans = t * t * (n - m % n) + (t + 1) * (t + 1) * (m % n);
    std::cout << ans << "\n";
}

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B. Obtain Two Zeroes

题意：给你两个数\(a, b\)，你每次选择一个\(x\)，使得一个减去\(x\)，一个减去\(2x\)。求能不能使得它们都变成零。

发现总共减去\(3x\)，那么\(a+b\)应该是\(3\)的倍数。同时\(b \leq 2a\)。这样才能在减完。

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void solve() {
    int a, b;
    std::cin >> a >> b;
    if (a > b) {
    	std::swap(a, b);
    }

    if ((a + b) % 3 == 0 && 2 * a >= b) {
    	std::cout << "YES\n";
    } else {
    	std::cout << "NO\n";
    }
}

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C. Infinite Fence

题意：一个数轴，给\(r\)的倍数染红色，\(b\)的倍数染蓝书，\(r, b\)公倍数随便染。然后把染色的点拿出来排成一列。能不能使得没有一个连续长度大于等于\(k\)的相同颜色段。

设\(r < b\)。
那么\([kb + 1, (k + 1)b - 1]\)之间最多放\(\lfloor \frac{(k+1)b - kb - 2)}{r} \rfloor\)个红色点。但直接判断是错的，因为想要放满需要满足从\(kb + 2\)开始放，如何判断呢，其实就是\(rx + by = 1\)。显然需要\(r, b\)互质才能满足，那么就把\(r, b\)除以最大公约数就行。

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void solve() {
    i64 r, b, k;
    std::cin >> r >> b >> k;
    if (r > b) {
    	std::swap(r, b);
    }

    i64 d = std::gcd(r, b);
    r /= d, b /= d;

    if ((b - 2) / r + 1 < k) {
    	std::cout << "OBEY\n";
    } else {
    	std::cout << "REBEL\n";
    }
}

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D. A Game with Traps

题意：\(m\)个队员，每个有\(a_i\)敏捷。路径长度为\(n\)，一开始你在\(0\)点，有\(k\)个陷阱，每个陷阱布置在\([l_i, r_i]\)，有\(d_i\)的危险度，如果\(a_i < d_i\)，那么这名队员不能进入。你可以走到\(r_i\)摧毁这个陷阱。每次有两种移动选择，你一个人往左或往右一格，或者你和队员在同一个可以带他们一起移动。求在\(t\)时刻内你最多带几个队员到达\(n+1\)。

考虑二分，我们肯定带前\(x\)个\(a_i\)最大的。那么能带队员走就走，不能走取决于\(a_i\)最小的那个，那么我们需要把这些陷阱摧毁，走到\(r_i\)的过程中可能会遇到新的陷阱有更大的\(r_i\)，此时应该一鼓作气走完把这些陷阱摧毁，然后回来接队员。

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void solve() {
    int m, n, k, t;
    std::cin >> m >> n >> k >> t;
    std::vector<int> a(m + 1);
    for (int i = 1; i <= m; ++ i) {
    	std::cin >> a[i];
    }
    a[0] = 1e9;

    std::ranges::sort(a, std::greater<>());
    std::vector<std::vector<std::pair<int, int>>> R(n + 1);
    for (int i = 0; i < k; ++ i) {
    	int l, r, d;
    	std::cin >> l >> r >> d;
    	R[l].emplace_back(r, d);
    }

    auto check = [&](int x) -> bool {
    	int sum = 0;
    	int r = 0, last = 0;
    	for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
    		for (auto & [j, v] : R[i]) {
    			if (v > x) {
    				r = std::max(r, j);
    			}
    		}

			++ sum;
    		if (i == r) {
    			sum += (r - last) * 2;
    			last = i;
    		} else if (i > r) {
    			last = i;
    		}
    	}
    	sum += n + 1 - last;
    	return sum <= t;
    };

    int l = 0, r = m;
    while (l < r) {
    	int mid = l + r + 1 >> 1;
    	if (check(a[mid])) {
    		l = mid;
    	} else {
    		r = mid - 1;
    	}
    }

    std::cout << l << "\n";
}

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E. Tournament

题意：\(n\)个人，\(n\)是\(2\)的幂。两两打比赛，第\(i\)个人能力为\(i\)，两个人比赛能力打的人赢。你的朋友也参加了比赛，你想让他成为最后的赢家。你可以花费\(a_i\)贿赂第\(i\)个人，他就会和你朋友比赛时输掉比赛。你可以随意安排每一场谁和谁打。求最少花费多少贿赂。

如果朋友不是第\(n\)个人，那么必须贿赂第\(n\)个人。如果朋友在\([n / 2 + 1, n - 1]\)这一段，模拟发现最后可以只剩下朋友和第\(i\)个人。否则如果朋友在\([n / 4 + 1, n / 2]\)，那么还要贿赂一个人。同理对于每个\(2\)的幂的一段，如果朋友还在前面，就需要贿赂一个。应该贿赂最便宜的。

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void solve() {
    int n;
    std::cin >> n;
    std::vector<int> a(n);
    for (int i = 0; i < n; ++ i) {
    	std::cin >> a[i];
    }

    std::priority_queue<int, std::vector<int>, std::greater<>> heap;
    i64 ans = 0;
    auto lowbit = [&](int x) -> int {
    	return x & -x;
    };

    for (int i = n - 1; i >= 0; -- i) {
    	if (a[i] == -1) {
    		break;
    	}
    	heap.push(a[i]);
    	if (lowbit(i + 1) == i + 1) {
    		ans += heap.top();
    		heap.pop();
    	}
    }
    std::cout << ans << "\n";
}