VP Educational Codeforces Round 56 (Rated for Div. 2)
A. Dice Rolling
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void solve() {
int x;
std::cin >> x;
if (x & 1) {
std::cout << 1 + (x - 3) / 2 << "\n";
} else {
std::cout << x / 2 << "\n";
}
}
B. Letters Rearranging
题意：判断字符串重新排列能不能不是回文。
只有字母都相同才无解。否则把一类字符都放到最前面。
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void solve() {
std::string s;
std::cin >> s;
int n = s.size();
if (std::ranges::count(s, s[0]) == n) {
std::cout << -1 << "\n";
return;
}
for (int i = 1, j = 1; i < n && j < n; ++ i) {
if (s[i] == s[0]) {
continue;
}
j = std::max(j, i + 1);
while (j < n && s[j] != s[0]) {
++ j;
}
if (j < n) {
std::swap(s[i], s[j]);
}
}
std::cout << s << "\n";
}
C. Mishka and the Last Exam
题意：\(a\)是递增的序列。\(b_i = a_i + a_{n-i+1}\)。给出\(b\)，求\(a\)。
尽量给\(a_{n-i+1}\)。但需要满足条件，所以\(a_i\)也会分到一些数，保证给最少就行。
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void solve() {
int n;
std::cin >> n;
std::vector<i64> a(n);
for (int i = 0; i < n / 2; ++ i) {
std::cin >> a[i];
}
for (int i = 0; i + 1 < n / 2; ++ i) {
a[n - 1 - (i + 1)] += a[n - 1 - i];
a[i + 1] -= a[n - 1 - i];
if (a[i] < a[i + 1]) {
a[n - 1 - (i + 1)] += a[i + 1] - a[i];
a[i + 1] = a[i];
}
}
std::ranges::reverse(a);
for (int i = 0; i < n; ++ i) {
std::cout << a[i] << " \n"[i == n - 1];
}
}
D. Beautiful Graph
题意：给你一个图，每个点可以是\(1,2, 3\)其中一棵。你要使得任意两个相邻的点的和是奇数。求有多少方案。
把\(1, 3\)看作黑色，\(2\)看作白色，那么就变成了黑白染色。只有二分图才有解。
一个连通块方案数就是放奇数点的方案数，因为每个奇数点有两种选择，所以乘上把黑色点作为奇数点的答案加上白色作为奇数的答案就行。
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const int mod = 998244353, N = 3e5 + 5;
int p2[N];
void init(int n) {
p2[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
p2[i] = (i64)p2[i - 1] * 2 % mod;
}
}
void solve() {
int n, m;
std::cin >> n >> m;
std::vector<std::vector<int>> adj(n);
for (int i = 0; i < m; ++ i) {
int u, v;
std::cin >> u >> v;
-- u, -- v;
adj[u].push_back(v);
adj[v].push_back(u);
}
std::vector<int> c(n);
int cnt[3]{};
auto dfs = [&](auto & self, int u, int color) -> bool {
c[u] = color;
cnt[color] += 1;
bool flag = false;
for (auto & v : adj[u]) {
if (!c[v]) {
flag |= self(self, v, 3 - color);
} else {
flag |= c[u] == c[v];
}
}
return flag;
};
int ans = 1;
for (int i = 0; i < n; ++ i) {
if (!c[i]) {
cnt[1] = cnt[2] = 0;
if (dfs(dfs, i, 1)) {
std::cout << 0 << "\n";
return;
}
int sum = (p2[cnt[1]] + p2[cnt[2]]) % mod;
ans = (i64)ans * sum % mod;
}
}
std::cout << ans << "\n";
}
F. Vasya and Array
题意：给你一个长度为\(n\)的数组，值域为\([1, k]\)。有些位置是\(-1\)代表未填。你需要填上这些数，使得没有长度大于等于\(len\)的子数组相同。求方案数。
一个显然的\(dp\)是，记\(f[i][j][l]\)表示第\(i\)个位置填了\(j\)末尾相同数长度为\(l\)的合法方案数，转移是\(f[i][j][l] = f[i - 1][j][l - 1],
f[i][j][1] = \sum_{x=1}^{k} \sum_{y=1}^{i-1} f[i - 1][x][y](x \ne j)\)。这样无法通过本题。
考虑优化，记\(f[i][j]\)为第\(i\)个位置填了\(j\)的合法方案数，\(g[i] = \sum_{x = 1}^{i} \sum_{y=1}^{k} f[x][y]\)。那么我们先直接让\(f[i][j] = g[i - 1]\)。这样发现有不合法的方案被算进来了，通过分析，幸运的发现不合法状态只有\([a_{i-len + 1}, a_i]\)都是\(-1\)或者\(j\)才会产生，那么如果符合这个条件，我们多算了\(g[i - len]\)，但需要注意的是，\(g[i - len]\)包含了\(f[i - len][j]\)，如果不合法状态包括它，那么在\(f[i - 1][j]\)的时候就会减去它，也就是不合法状态会在第一次出现就被减去，所以我们还需要加回来\(f[i - len][j]\)。
于是得到\(f[i][j] = g[i - 1] - (g[i - len] + f[i - len][j])(如果[a_{i-len + 1}, a_i]都是-1或者j))\)。
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const int mod = 998244353;
void solve() {
int n, k, len;
std::cin >> n >> k >> len;
std::vector<int> a(n + 1);
for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
std::cin >> a[i];
}
std::vector l(n + 1, std::vector<int>(k + 1));
for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
for (int j = 1; j <= k; ++ j) {
if (a[i] == j || a[i] == -1) {
l[i][j] = l[i - 1][j] + 1;
}
}
}
std::vector f(n + 1, std::vector<int>(k + 1));
std::vector<int> g(n + 1);
g[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
for (int j = 1; j <= k; ++ j) {
if (a[i] != j && a[i] != -1) {
continue;
}
f[i][j] = g[i - 1];
if (l[i][j] >= len) {
f[i][j] = (f[i][j] - g[i - len] + mod) % mod;
f[i][j] = (f[i][j] + f[i - len][j]) % mod;
}
g[i] = (g[i] + f[i][j]) % mod;
}
}
std::cout << g[n] << "\n";
}
G. Multidimensional Queries
题意：给你\(n\)个\(k\)维点，每次操作会修改一个点，或者查询\([l, r]\)里曼哈顿距离最大的两个点的距离。
注意\(k\)很小。
回想二维点对的最大曼哈顿距离怎么求，其实就是拆绝对值变成了\(4\)种情况:\(x_i - x_j + y_i - y_j, x_i - x_j - y_i + y_j, -x_i + x_j + y_i - y_j, -x_i + x_j - y_i + y_j\)。
同理扩展到\(k\)维，两个点距离可以有\(2^k\)次方种情况，他们的曼哈顿距离就是其中最大的，我们可以把一个点的坐标单独拿出来，每个点的一个坐标只有正负两种情况。那么我们可以用二进制表示第\(i\)个坐标是正还是负。然后如果这个点第\(i\)坐标是正，那么另一个点第\(i\)个坐标就是负的。发现二进制下它们互为补集。那么可以用线段树维护。
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#define ls (u << 1)
#define rs (u << 1 | 1)
#define umid (tr[u].l + tr[u].r >> 1)
template <class Info>
struct Node {
int l, r;
Info info;
};
template <class Info>
struct SegmentTree {
std::vector<Node<Info> > tr;
SegmentTree(int _n) {
init(_n);
}
SegmentTree(std::vector<Info> & a) {
init(a);
}
void init(int _n) {
tr.assign(_n << 2, {});
build(0, _n - 1);
}
void init(std::vector<Info> & a) {
int _n = (int)a.size();
tr.assign(_n << 2, {});
build(0, _n - 1, a);
}
void pushup(int u) {
tr[u].info = tr[ls].info + tr[rs].info;
}
void build(int l, int r, int u = 1) {
tr[u] = {l, r, {}};
if (l == r) {
return;
}
int mid = l + r >> 1;
build(l, mid, ls); build(mid + 1, r, rs);
}
void build(int l, int r, std::vector<Info> & a, int u = 1) {
tr[u] = {l, r, {}};
if (l == r) {
tr[u].info = a[l];
return;
}
int mid = l + r >> 1;
build(l, mid, a, ls); build(mid + 1, r, a, rs);
pushup(u);
}
void modify(int p, Info add, bool set = false) {
int u = 1;
while (tr[u].l != tr[u].r) {
int mid = umid;
if (p <= mid) {
u = ls;
} else {
u = rs;
}
}
if (set) {
tr[u].info = add;
} else {
tr[u].info = tr[u].info + add;
}
u >>= 1;
while (u) {
pushup(u);
u >>= 1;
}
}
Info query(int l, int r, int u = 1) {
if (l <= tr[u].l && tr[u].r <= r) {
return tr[u].info;
}
int mid = umid;
if (r <= mid) {
return query(l, r, ls);
} else if (l > mid) {
return query(l, r, rs);
}
return query(l, r, ls) + query(l, r, rs);
}
};
struct Info {
std::array<int, 1 << 5> max;
Info() {}
Info(const std::array<int, 5> & a) {
for (int s = 0; s < 1 << 5; ++ s) {
max[s] = 0;
for (int i = 0; i < 5; ++ i) {
if (s >> i & 1) {
max[s] += a[i];
} else {
max[s] -= a[i];
}
}
}
}
};
Info operator + (const Info & a, const Info & b) {
Info res{};
for (int s = 0; s < 1 << 5; ++ s) {
res.max[s] = std::max(a.max[s], b.max[s]);
}
return res;
}
void solve() {
int n, k;
std::cin >> n >> k;
const int K = (1 << 5) - 1;
std::vector<Info> info(n);
for (int i = 0; i < n; ++ i) {
std::array<int, 5> a{};
for (int j = 0; j < k; ++ j) {
std::cin >> a[j];
}
info[i] = Info(a);
}
SegmentTree<Info> tr(info);
int q;
std::cin >> q;
while (q -- ) {
int op;
std::cin >> op;
if (op == 1) {
int p;
std::cin >> p;
-- p;
std::array<int, 5> a{};
for (int i = 0; i < k; ++ i) {
std::cin >> a[i];
}
Info info(a);
tr.modify(p, info, true);
} else {
int l, r;
std::cin >> l >> r;
-- l, -- r;
auto a = tr.query(l, r).max;
int ans = 0;
for (int i = 0; i < 1 << 5; ++ i) {
ans = std::max(ans, a[i] + a[~i & K]);
}
std::cout << ans << "\n";
}
}
}
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