Codeforces Round 1009 (Div. 3)

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A. Draw a Square

题意：\(4\)个点，两个在\(x\)轴上，两个在\(y\)轴上，求它们能不能形成正方形。

显然它们离原点的距离都要相同。

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void solve() {
    int l, r, d, u;
    std::cin >> l >> r >> d >> u;
    if (l == r && d == u && l == d) {
    	std::cout << "YES\n";
    } else {
    	std::cout << "NO\n";
    }
}

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B. The Third Side

题意：给你一个数组，每次选其中两个数和一个\(x\)，使得这三个数可以组成三角形。然后删除选出的两个数，把\(x\)加进去。

从大到小排序，然后每次拿两个最大处理，\(x\)取值取最大。

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void solve() {
    int n;
    std::cin >> n;
    std::vector<int> a(n);
    for (int i = 0; i < n; ++ i) {
    	std::cin >> a[i];
    }

    i64 ans = a[n - 1];
    for (int i = n - 2; i >= 0; -- i) {
    	ans = ans + a[i] - 1;
    }

    std::cout << ans << "\n";
}

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C. XOR and Triangle

题意：给你\(x\)，求一个\(y\)使得\(y < x\)且\(x \oplus y, x, y\)可以组成三角形。

设\(x\)最高位\(1\)为\(i\)，那么使得\(y = 2^i - 1\)即可。

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void solve() {
    int x;
    std::cin >> x;
    int y = 0;
    for (int i = 30, flag = 0; i >= 0; -- i) {
    	if (~x >> i & 1) {
    		if (flag) {
    			y += 1 << i;
    		}
    	} else {
    		if (flag) {
    			y += 1 << i;
    		}

    		flag = 1;
    	}
    }

    int z = (x ^ y);
    if (y >= x || x + y <= z || y + z <= x || x + z <= y) {
    	std::cout << -1 << "\n";
    } else {
    	std::cout << y << "\n";
    }
}

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D. Counting Points

题意：给出\(n\)个圆心在\(x\)轴上的\(n\)个圆，它们半径之和为\(m\)。求有多少整数点被至少一个圆包含。

对于\(x\)轴上的点来说，如果他被一个圆包含了，那么它上面和下面各有\(\sqrt(r_i ^ 2 - (i - x_i)^2)\)个点也被包含了。那么对于每个圆暴力枚举\(x\)轴上每个被它包含的点，然后每个记录往上下一样包含的点最大值。用\(map\)存。

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void solve() {
    int n, m;
    std::cin >> n >> m;
    std::vector<i64> x(n), r(n);
    for (int i = 0; i < n; ++ i) {
    	std::cin >> x[i];
    }

    for (int i = 0; i < n; ++ i) {
    	std::cin >> r[i];
    }

    std::map<i64, i64> mp;
    for (int i = 0; i < n; ++ i) {
    	i64 L = x[i] - r[i], R = x[i] + r[i];
    	while (L <= R) {
    		i64 h = std::sqrt(r[i] * r[i] - (R - x[i]) * (R - x[i]));
    		mp[L] = std::max(mp[L], h + 1);
    		mp[R] = std::max(mp[R], h + 1);
    		++ L;
    		-- R;
    	}
    }

    i64 ans = 0;
    for (auto & [x, y] : mp) {
    	ans += y * 2 - 1;
    }

    std::cout << ans << "\n";
}

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E. Empty Triangle

题意：交互题。有\(n\)个点，你每次问三个点，会回答你被它们组成的三角形包含的某个点下标，如果没有则回答\(0\)。不超过\(75\)次询问找出三个点，它们组成的三角形不包含其它任何点。

乱搞搞过去的。

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int ask(int i, int j, int k) {
	std::cout << "? " << i << " " << j << " " << k << std::endl;
	int res;
	std::cin >> res;
	return res;
}

void solve() {
    int n;
    std::cin >> n;
    int i = 1, j = (n + 1) / 2, k = n;
    while (1) {
    	int p = ask(i, j, k);
    	if (p == 0) {
    		std::cout << "! " << i << " " << j << " " << k << std::endl;
    		return;
    	}

    	if (p & 1) {
	    	i = j;
	    	j = k;
	    	k = p;    		
    	} else {
    		k = j;
    		j = i;
    		i = p;
    	}
    }
}

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F. Counting Necessary Nodes

没看懂题。

待补

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G. Game With Triangles: Season 2

题意：\(n\)个点围成一个多边形，你每次选三个点获得\(a_i \times a_j \times a_k\)的贡献，所有选出的三个点构成的三角形不能有交集，每个点只能选一次。求最大价值。

区间\(dp\)。考虑破环成链，把数组复制一份。然后\(f[i][j]\)表示从\(i\)到\(j\)个点的最大贡献。那么首先\(f[i][j] = \max(f[i + 1][j], f[i + 1][j], f[i][j - 1])\)。表示不选\(i\)或者不选\(j\)或者都不选。然后枚举和\(i, j\)组成三角形的点\(k\), \(f[i][j] = \max(f[i][j], a_i \times a_j \times a_k + f[i + 1][k - 1] + f[k + 1][j - 1])\)。同时也可以不用\(i, j\)，枚举\(k\)作为分界点，\(f[i][j] = \max(f[i][j], f[i][k] + f[k + 1][j], f[i][k - 1] + f[k][j])\)。

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void solve() {
    int n;
    std::cin >> n;
    std::vector<i64> a(2 * n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
    	std::cin >> a[i];
    	a[i + n] = a[i];
    }

    std::vector f(2 * n + 1, std::vector<i64>(2 * n + 1));
    for (int len = 3; len <= n; ++ len) {
    	for (int i = 1; i + len - 1 <= 2 * n; ++ i) {
    		int j = i + len - 1;
    		f[i][j] = std::max({f[i + 1][j], f[i][j - 1], f[i + 1][j - 1]});
    		for (int k = i + 1; k < j; ++ k) {
    			f[i][j] = std::max(f[i][j], a[i] * a[j] * a[k] + f[i + 1][k - 1] + f[k + 1][j - 1]);
    			f[i][j] = std::max({f[i][j], f[i][k] + f[k + 1][j], f[i][k - 1] + f[k][j]});
    		}
    	}
    }

    i64 ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
    	ans = std::max(ans, f[i][i + n - 1]);
    }

    std::cout << ans << "\n";
}