VP Educational Codeforces Round 16

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A. King Moves

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void solve() {
    std::string s;
    std::cin >> s;
    if ((s[0] == 'a' || s[0] == 'h') && (s[1] == '1' || s[1] == '8')) {
    	std::cout << 3 << "\n";
    } else if ((s[0] == 'a' || s[0] == 'h') || (s[1] == '1' || s[1] == '8')) {
    	std::cout << 5 << "\n";
    } else {
    	std::cout << 8 << "\n";
    }
}

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B. Optimal Point on a Line

中位数定理板子题。

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void solve() {
    int n;
    std::cin >> n;
    std::vector<int> a(n);
    for (int i = 0; i < n; ++ i) {
    	std::cin >> a[i];
    }

    std::sort(a.begin(), a.end());
    std::cout << a[n / 2 - (n % 2 == 0)] << "\n";
}

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C. Magic Odd Square

题意：构造一个\(n\times n\)的矩阵，其中\([1, n^2]\)之间的数都恰好用一次，使得每行每列每个对角线之和都为奇数。保证\(n\)是奇数。

手玩一下发现规律，如果我们把最中间的行和最中间的列都放奇数，就已经满足了，考虑剩下的奇数怎么放。发现我们相当于画了一个坐标轴，如果我们想在其它地方放一个奇数，那么需要对其它三个象限对应的地方也放一个奇数。然后一开始我们用了奇数个奇数，还剩下偶数个奇数，只需要剩下的奇数个数是\(4\)的倍数就行了。因为\(n\)是奇数，那么总共有\(\lceil \frac{n^2}{2} \rceil = \frac{n^2+1}{2}\)个奇数，用了\(2n - 1\)个，剩下\(\frac{n^2+1}{2} - \frac{4n - 2}{2} = \frac{n^2 - 4n + 3}{2} = \frac{(n-1)(n-3)}{2}\)个，那么这个数一定是\(4\)的倍数。

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void solve() {
    int n;
    std::cin >> n;
    std::vector ans(n, std::vector<int>(n));
    int x = 1, y = 2;
    for (int i = 0; i < n; ++ i) {
    	for (int j = 0; j < n; ++ j) {
    		if (std::abs(i - n / 2) + std::abs(j - n / 2) <= n / 2) {
    			ans[i][j] = x;
    			x += 2;
    		} else {
    			ans[i][j] = y;
    			y += 2;
    		}
    	}
    }

    for (int i = 0; i < n; ++ i) {
    	for (int j = 0; j < n; ++ j) {
    		std::cout << ans[i][j] << " \n"[j == n - 1];
    	}
    }
}

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D. Two Arithmetic Progressions

题意：对于两个等差序列，求有多少在\([L, R]\)之间的数同时在这两个等差序列里出现过。

根号分治。
考虑两个暴力做法：

1. 枚举一个等差数列，判断是否在另一个等差序列里出现。
2. 如果找到一个最小的一个\(a_1k + b_1 = a_2l + b_2\)，那么每次给两边同时加上\(lcm(a_1, a_2)\)等式也成立并且在两个等差序列里出现。那么我们知道这个出现规律是以\(lcm(a_1, a_2)\)为周期的，我们只需要枚举\(lcm\)次，就可以找到第一个，然后能计算剩下多少循环。

我们可以在\(max(a_1, a_2) \geq 1000\)时用第一个方法，否则用第二个方法。

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void solve() {
	i64 a1, b1, a2, b2, L, R;
	std::cin >> a1 >> b1 >> a2 >> b2 >> L >> R;
	if (a1 < a2) {
		std::swap(a1, a2);
		std::swap(b1, b2);
	}

	if (a1 >= 1000) {
		int ans = 0;
		for (i64 k = std::max(0ll, (L - b1 + a1 - 1) / a1); k * a1 + b1 <= R; ++ k) {
			if ((k * a1 + b1 - b2) % a2 == 0 && (k * a1 + b1 - b2) / a2 >= 0) {
				++ ans;
			}
		}
		std::cout << ans << "\n";
	} else {
		L = std::max({L, b1, b2});
		i64 lcm = a1 / std::gcd(a1, a2) * a2;
		for (i64 i = L; i <= std::min(L + lcm, R); ++ i) {
			if ((i - b1) % a1 == 0 && (i - b2) % a2 == 0) {
				std::cout << (R - i) / lcm + 1 << "\n";
				return;
			}
		}
		std::cout << 0 << "\n";
	}
}

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E. Generate a String

题意：一开始你有一个\(m = 0\)，你要变成\(n\)，每次可以使\(m = m + 1, m = m - 1\)，花费\(x\)，也可以使\(m = m \times 2\)，花费\(y\)。求最小代价。

\(bfs\)搜索，注意一些剪枝。每个数只可能被入队两次。

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void solve() {
    int n, x, y;
    std::cin >> n >> x >> y;
    std::vector<i64> d(2 * n + 1, 1e18);
    std::queue<std::pair<i64, int>> q;
    d[n] = 0;
    q.push({0, n});
    while (q.size()) {
    	auto [val, u] = q.front(); q.pop();
    	if (u == 0) {
    		continue;
    	}

    	if (val > d[u] || val >= d[0]) {
    		continue;
    	}

    	if (u % 2 == 0 && d[u / 2] > d[u] + y) {
    		d[u / 2] = d[u] + y;
    		q.push({d[u / 2], u / 2});
    	}

    	if (d[u - 1] > d[u] + x) {
    		d[u - 1] = d[u] + x;
    		q.push({d[u - 1], u - 1});
    	}

    	if (u + 1 <= 2 * n && d[u + 1] > d[u] + x) {
    		d[u + 1] = d[u] + x;
    		q.push({d[u + 1], u + 1});
    	}
    }
    std::cout << d[0] << "\n";
}