Codeforces Round 998 (Div. 3)
A. Fibonacciness
题意：给你\(a_1,a_2,a_4,a_5\)，你可以让\(a_3\)等于任何数，求最大有多少个\(i\)满足\(1 <= i <= 3, a_i + a_{i+1} = a_{i+2}\)。
枚举\(a_3\)分别等于\(a_1 + a_2，a_4 - a_2, a_5 - a_4\)的情况取最大值即可。
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void solve() {
int a, b, c, d;
std::cin >> a >> b >> c >> d;
int ans1 = 1;
if (b + a + b == c) {
++ ans1;
}
if (a + b + c == d) {
++ ans1;
}
int ans2 = 1;
if (b + d - c == c) {
++ ans2;
}
if (a + b == d - c) {
++ ans2;
}
int ans3 = 1;
if (a + b == c - b) {
++ ans3;
}
if (c - b + c == d) {
++ ans3;
}
std::cout << std::max({ans1, ans2, ans3}) << "\n";
}
B. Farmer John's Card Game
题意：\(n \times m\)个牌分在\(n\)个人手里，每人手里\(m\)个，要有一个排列使得按照这个排列上的顺序出牌，让所有人都可以出完，出牌规则是要等于上一个人出的牌。
要出完所有牌，那么打出的牌肯定是\(n*m\)个牌按从小到大顺序出。那么从小到大枚举，看当前出这个牌的人上次出牌是不是在\(i-n\)之前就行，因为一轮是\(n\)个人，总共\(m\)轮正好出完，所以一个人如果在一轮出两张以上的牌那么会有一个人有牌出不来。
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void solve() {
int n, m;
std::cin >> n >> m;
std::vector<int> a(n * m);
for (int i = 0; i < n; ++ i) {
for (int j = 0; j < m; ++ j) {
int x;
std::cin >> x;
a[x] = i;
}
}
std::vector<int> ans(n), last(n, -n);
for (int i = 0; i < n * m; ++ i) {
if (i - last[a[i]] < n) {
std::cout << -1 << "\n";
return;
}
last[a[i]] = i;
if (i < n) {
ans[i] = a[i];
}
}
for (int i = 0; i < n; ++ i) {
std::cout << ans[i] + 1 << " \n"[i == n - 1];
}
}
C. Game of Mathletes
有n个数，每次\(Alice\)选一个数\(a\)，\(Bob\)选一个数\(b\)，如果\(a+b=k\)，那么分数加一，问最终分数。
分数是固定的，因为如果牌库里有\(k-a\)那么\(Bob\)一定会选。那么计算每个\(a\)和\(k-a\)能产生的贡献即可。
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void solve() {
int n, k;
std::cin >> n >> k;
std::vector<int> cnt(2 * n + 1);
for (int i = 0; i < n; ++ i) {
int x;
std::cin >> x;
++ cnt[x];
}
int ans = 0;
for (int i = 1; i <= k / 2; ++ i) {
if (k % 2 == 0 && i == k / 2) {
ans += cnt[i] / 2;
} else {
ans += std::min(cnt[i], cnt[k - i]);
}
}
std::cout << ans << "\n";
}
D. Subtract Min Sort
题意：一个数组\(a\)，你每次可以让两个相邻的数一起减去他们之中的最小值。问能不能使数组非递减。
假设\([1,i]\)已经非递减，那么如果\(a_i>a_{i+1}\)，那么操作\(i\)和\(i+1\)是没用的，只能操作\(i-1\)和\(i\)，所以让\(a_i-=a_{i-1}\)。如果\(a_i<=a_{i+1}\)，如果我们不操作的话，遇到\(a_{i+1}>a_{i+2}\)，那么只操作\(i,i+1\)是不够的，因为这样后\(a_i=0\)，而\(a_{i-1} > a_i\)，所以还是得让\(a_i-=a_{i+1}\)。如果后面没有出现递减的情况，那么我们这样操作也不会影响数组。所以每次都让\(a_i-=a_{i-1}\)。
注意特判\(a_1 > a_2\)的情况。
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void solve() {
int n;
std::cin >> n;
std::vector<int> a(n);
for (int i = 0; i < n; ++ i) {
std::cin >> a[i];
}
if (a[0] > a[1]) {
std::cout << "NO\n";
return;
}
for (int i = 1; i + 1 < n; ++ i) {
a[i] -= a[i - 1];
if (a[i] > a[i + 1]) {
std::cout << "NO\n";
return;
}
}
std::cout << "YES\n";
}
E. Graph Composition
题意：给你两个图\(f,g\)，你可以每次操作给\(f\)加一条边或者减一条边。问让两个图任意两个点联通性相同需要的最小操作数。
我们给两个图都开一个并查集记录集合。我们用\(f_u, g_u\)表示点\(u\)在两个图所在的集合。
首先如果\((u, v) \in f\)，并且\(g_u \neq g_v\)，那么这条边一定要删。
然后枚举\(g\)的每个集合，如果有一个\(v \in g_u\)并且\(v \notin f_u\)，那么要加一条边，同时在\(f\)的集合里合并\(f_u\)和\(f_v\)。
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void solve() {
int n, m, k;
std::cin >> n >> m >> k;
std::set<std::pair<int, int> > s1, s2;
std::vector<int> fa1(n + 1), fa2(n + 1);
std::iota(fa1.begin(), fa1.end(), 0);
std::iota(fa2.begin(), fa2.end(), 0);
std::function<int(int)> find1 = [&](int x) -> int {
return x == fa1[x] ? x : fa1[x] = find1(fa1[x]);
};
std::function<int(int)> find2 = [&](int x) -> int {
return x == fa2[x] ? x : fa2[x] = find2(fa2[x]);
};
for (int i = 0; i < m; ++ i) {
int u, v;
std::cin >> u >> v;
s1.insert({u, v});
}
for (int i = 0; i < k; ++ i) {
int u, v;
std::cin >> u >> v;
fa2[find2(u)] = find2(v);
s2.insert({u, v});
}
int ans = 0;
for (auto & [x, y] : s1) {
if (find2(x) != find2(y)) {
++ ans;
} else {
fa1[find1(x)] = find1(y);
}
}
std::map<int, std::vector<int> > mp;
for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
mp[find2(i)].push_back(i);
}
for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
for (auto & x : mp[i]) {
if (find1(x) != find1(i)) {
++ ans;
fa1[find1(x)] = find1(i);
}
}
}
std::cout << ans << "\n";
}
F. Multiplicative Arrays
题意：求有多少数组\(a\)，满足\(1 \leqslant |a| \leqslant n, 1 \leqslant a_i \leqslant k\)，以及\(\prod_{i=1}^{|a|} a_i = x,(1 \leqslant x \leqslant k)\)。
注意到因为\(k\)只有1e5，那么它的质因子是有限的，最多只能让\(log_{2}k\)个地方不填\(1\)。那么我们先计算序列乘积为\(i\)长度为\(j\)且每个数都大于\(1\)的方案数，记为\(f_{i,j}\)。
那么\(f_{i,j} = \sum_{p|i,p>1} f_{i/p,j-1}\)，意为在乘积为\(i\)的因子长度为\(j-1\)的序列后面加上\(p\)这个因子。
有了\(f\)后，那么记\(ans_k\)为乘积为\(k\)的满足条件数组个数，那么如果我们有\(j\)个不为\(1\)的数，数组长度为\(i\)，那么有\(C(i, j)\)种填法，则\(ans_k = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{\min(log_2i,n)} C(i, j)f_{k, j}\)，注意到\(\sum_{i=1}^{n} C(i, j)\)等于\(C(n + 1, j + 1)\)，这是常用的组合数学公式。 那么\(ans_k = \sum_{j=1}^{\min(log_2i,n)} C(n + 1, j + 1) f_{k, j}\)。
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void solve() {
int n, k;
std::cin >> k >> n;
std::vector<std::vector<int> > factor(k + 1);
for (int i = 2; i <= k; ++ i) {
for (int j = i; j <= k; j += i) {
factor[j].push_back(i);
}
}
int m = std::__lg(k) + 1;
std::vector f(k + 1, std::vector<Z>(m + 1));
for (int i = 1; i <= k; ++ i) {
for (int j = 1; j <= m; ++ j) {
if (i > 1 && j == 1) {
f[i][j] = 1;
} else {
for (auto & x : factor[i]) {
f[i][j] += f[i / x][j - 1];
}
}
}
}
std::vector<Z> ans(k + 1);
ans[1] = n;
for (int i = 2; i <= k; ++ i) {
for (int j = 1; j <= std::min(m, n); ++ j) {
Z C = 1;
for (int a = 1, b = n + 1; a <= j + 1; ++ a, -- b) {
C = C * b / a;
}
ans[i] += C * f[i][j];
}
}
for (int i = 1; i <= k; ++ i) {
std::cout << ans[i] << " \n"[i == k];
}
}
浙公网安备 33010602011771号