VP Codeforces Round 897 (Div. 2)

A. green_gold_dog, array and permutation

题意：给你一个数组\(a\)，你要构造一个排列\(b\)，使得不同的\(a_i-b_i\)尽可能多。

我们按\(a_i\)从小到大分配\(n\)到\(1\)，这样\(a_i-b_i\)一定大于\(a_j-b_j\)\((a_i>a_j)\)。

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void solve() {
    int n;
    std::cin >> n;
    std::vector<int> a(n);
    for (int i = 0; i < n; ++ i) {
    	std::cin >> a[i];
    }

    std::vector<int> id(n);
    std::iota(id.begin(), id.end(), 0);
    std::sort(id.begin(), id.end(), [&](int i, int j) {
    	return a[i] > a[j];
    });

    std::vector<int> ans(n);
    for (int i = 0; i < n; ++ i) {
    	ans[id[i]] = i + 1;
    }

    for (int i = 0; i < n; ++ i) {
    	std::cout << ans[i] << " \n"[i == n - 1];
    }
}

B. XOR Palindromes

题意：给你一个长度为\(n\)的\(01\)串，问你对于每个\(x \in [1, i]\)，能否有一个恰好有\(x\)个\(1\)的\(01\)串和这个串异或后是回文串。

我们先看原串两边有几个不一样的，假设为\(cnt\)，那么\(x\)至少大于等于\(cnt\)。如果\(n\)是偶数，那么我们考虑每次两边同时变回文对应位置的，那么\(\frac{(x - cnt)}{2} <= \frac{n}{2} - cnt\)，如果是奇数，可以让中间的那个选择变也可以不变。

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void solve() {
    int n;
    std::cin >> n;
    std::string s;
    std::cin >> s;
    std::string ans(n + 1, '0');
    int cnt = 0;
    for (int i = 0; i < n / 2; ++ i) {
    	cnt += s[i] != s[n - 1 - i];
    }

    for (int i = cnt, j = cnt; j <= n / 2; i += 2, ++ j) {
    	ans[i] = '1';
    	if (n % 2 && i + 1 <= n) {
    		ans[i + 1] = '1';
    	}
    }

    std::cout << ans << "\n";
}

C. Salyg1n and the MEX Game

题意：交互题。有一个集合，每次\(Alice\)加入一个数，\(Bob\)减去一个数。每次\(Bob\)减去的数小于\(Alice\)减去的数。问最后\(mex\)最大时多少。‘

诈骗题。假设我们已经让\(mex\)最大了，那此时\(Bob\)删掉一个数我们应该马上再加回来。然后发现我们只有第一次操作有机会让\(mex\)变大。所以第一次加入当前\(mex\)，后面\(Bob\)删什么我们加什么。

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void solve() {
    int n;
    std::cin >> n;
    std::vector<int> a(n);
    for (int i = 0; i < n; ++ i) {
    	std::cin >> a[i];
    }

    std::set<int> s;
    for (int i = 0; i < n; ++ i) {
    	s.insert(a[i]);
    }
    int mex = 0;
    while (s.count(mex)) {
    	++ mex;
    }

	std::cout << mex << std::endl;
    while (1) {
    	int x;
    	std::cin >> x;
    	if (x == -1) {
    		break;
    	}
    	std::cout << x << std::endl;
    }
}

D. Cyclic Operations

题意：你有一个全零的数组，你要让他变成\(b\)，每次可以选择一个长度为\(k\)的序列\(l\)，序列里的数两两不同，然后让\(a_{l_i}=l_{(i+1)\%k+1}\)。问能不能变成\(b\)。

观察发现，如果我们像每个位置要变的数连边，那么会形成一个环，因为每个位置只能连一条出边，所以每条边只在一个环里。也有没在环里的点，但他最终会指向环，这种从环里面搞一些数来配合他就能填好。然后我们考虑怎么填好环里的数。发现如果环的大小不是\(k\)，则无法填好。于是判断每个环的大小即可。注意特判\(k=1\)的情况。

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void solve() {
    int n, k;
    std::cin >> n >> k;
    std::vector<int> a(n);
    for (int i = 0; i < n; ++ i) {
    	std::cin >> a[i];
    	-- a[i];
    }

    if (k == 1) {
    	for (int i = 0; i < n; ++ i) {
    		if (a[i] != i) {
    			std::cout << "NO\n";
    			return;
    		}
    	}

    	std::cout << "YES\n";
    	return;
    }

    std::vector<int> st(n, -1), b(n);
    for (int i = 0; i < n; ++ i) {
    	if (st[i] == -1) {
    		int j = i;
    		int cnt = 0;
    		while (st[j] == -1) {
    			st[j] = i;
    			b[j] = cnt;
    			j = a[j];
    			++ cnt;
    		}
    		if (st[j] == i && cnt - b[j] != k) {
    			std::cout << "NO\n";
    			return;
    		}
    	}
    }

    std::cout << "YES\n";
}

E1/E2 Salyg1n and Array

题意：交互题。有一个数组\(a\)，你要求它的所有数的异或值。 你每次可以询问一个\(i\)，它会返回\(a_i \oplus a_{i+1} \oplus ... \oplus a_{i+k-1}\)。然后会翻转\([i,i+k-1]\)这个区间。\(E1\)最多问\(100\)次，\(E2\)最多问\(57\)次。

如果\(k | n\)，那么我们直接询问每个长度为\(k\)的区间就好了。
否则，因为\(n，k\)都是偶数，那么\(n \% k\)也是偶数，我们可以每次问剩下的一半。我们先问以前一半结尾的长度为\(k\)的区间，我们得到了前一半的异或和，但是前面有\(k-\frac{n\%k}{2}\)个数重复异或了，但不用担心，因为这个区间翻转或这些数和后一半挨在一起了我们再询问最后\(k\)个数，就得到了后一半的值，并且把重复异或的数再异或了一次。

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int ask(int x) {
	std::cout << "? " << x << std::endl;
	int res;
	std::cin >> res;
	return res;
}

void solve() {
    int n, k;
    std::cin >> n >> k;
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n - k + 1; i += k) {
    	ans ^= ask(i);
    }

    if (n % k == 0) {
    	std::cout << "! " << ans << std::endl;
    	return;
    }

    int len = n % k;
    ans ^= ask(n - len / 2 - k + 1);
    ans ^= ask(n - k + 1);
    std::cout << "! " << ans << std::endl;
}