Codeforces Round 997 (Div. 2)

A. Shape Perimeter

题意：一个\(m \times m\)的印章每次往右上方向移动，问盖出来的图形周长。

假设每次都能盖\(m \times m\)的格子，那么看每两次盖章有多重复的减去就行。第\(i\)次移动了\(x_i, y_i\)，那么就会有一个\(m-x_i, m-y_i\)的矩形被重复覆盖，减去它的周长。

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void solve() {
    int n, m;
    std::cin >> n >> m;
    std::vector<int> x(n), y(n);
    for (int i = 0; i < n; ++ i) {
    	std::cin >> x[i] >> y[i];
    }

    i64 ans = m * 4 * n;
    for (int i = 1; i < n; ++ i) {
    	ans -= (m - x[i] + m - y[i]) * 2;
    }

    std::cout << ans << "\n";
}

B. Find the Permutation

题意：有一个排列，给你一个矩阵表示\(y\)是否在\(x\)后面\((y>x)\), 求出这个排列。

对于每一对\(xy\)，我们都可以知道谁在前面，前面的向后面连边，那么没入度的点就是第一个，依次推出其他点的位置。用拓扑排序即可。
因为我们知道每个数有几个在他前面，那么位置也确定了，赛时没想这么多，其实不用拓扑排序。

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void solve() {
    int n;
    std::cin >> n;
    std::vector<std::string> s(n);
    for (int i = 0; i < n; ++ i) {
    	std::cin >> s[i];
    }

    std::vector<std::vector<int> > adj(n);
    std::vector<int> in(n);
    for (int i = 0; i < n; ++ i) {
    	for (int j = i + 1; j < n; ++ j) {
    		if (s[i][j] == '1') {
    			adj[i].push_back(j);
    			++ in[j];
    		} else {
    			adj[j].push_back(i);
    			++ in[i];
    		}
    	}
    }

    std::queue<int> q;
    std::vector<int> ans;
    for (int i = 0; i < n; ++ i) {
    	if (in[i] == 0) {
    		q.push(i);
    	}
    }

    while (q.size()) {
    	int u = q.front(); q.pop();
    	ans.push_back(u);
    	for (auto & v : adj[u]) {
    		if ( -- in[v] == 0) {
    			q.push(v);
    		}
    	}
    }

    for (auto & x : ans) {
    	std::cout << x + 1 << " \n"[x == ans.back()];
    }
}

C. Palindromic Subsequences

题意：构造一个数组使得长度最长的最长回文子序列数量最多。

如果我们填\(1\)~\(n-3\)，后面三个填1，2，3。你们发现会有\(3(n-4)\)个最长回文子序列。当\(n\)大于6的时候满足\(3(n-4) > n\)。\(n\)等于6我直接抄的样例。

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void solve() {
    int n;
    std::cin >> n;
    if (n == 6) {
    	std::cout << 1 << " " << 1 << " " << 2 << " " << 3 << " " << 1 << " " << 2 << "\n";
    	return;
    }
    int m = n - 3;
    for (int i = 1, x = 0; i <= n; ++ i) {
    	std::cout << x + 1 << " \n"[i == n];
    	x = (x + 1) % m;
    }
}

D. Unique Median

不会。坐了两个小时牢

题意：如果一个数组长度为奇数，或者长度是偶数以及两个中位数相等，就是好的。给你一个数组，求有多少个子数组是好的。

这题我们反着做，求出有多少不好的子数组，然后用总数减去就是答案。
什么样的数组是不好的？恰好有一个\(x\)满足\(1\)到\(x\)的总个数是\(\frac{len}{2}\)。如果让\(a_i <= x\)时，\(b_i = -1\)，让\(a_i > x\)时，\(b_i = 1\)，那么一个子数组是坏的代表它的和为0。那么我们枚举这个\(x\)，看有多少个值为\(0\)的子数组。
设\(sum_i\)为枚举\(x\)时\(\sum_{i=1}^{i} b_i\)，那么我们需要减去一个\(sum_j,\)满足\(sum_i - sum_j = 0\)，意为所有\([j + 1, i]\)是坏的\(j\)。但要注意有可能区间里没有\(x\)，那么不应该算这个区间。比如我们枚举\(x=4\)时，\([1, 2, 6, 6]\)的确是坏的，但后面枚举\(x=5\)时，我们又会算一遍，这个数组应该只在\(x=2\)时算一遍。所以我们要在出现一个\(x\)时再把没加进来的\(sum\)加进来。

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void solve() {
    int n;
    std::cin >> n;
    std::vector<int> a(n);
    for (int i = 0; i < n; ++ i) {
    	std::cin >> a[i];
    }

    i64 ans = (i64)n * (n + 1) / 2;
    for (int x = 1; x <= 10; ++ x) {
        std::vector<int> sum(n + 1);
        for (int i = 0; i < n; ++ i) {
            sum[i + 1] = sum[i] + (a[i] > x ? 1 : -1);
        }

        std::vector<int> cnt(2 * n + 1);
        for (int i = 1, j = 0; i <= n; ++ i) {
            if (a[i - 1] == x) {
                while (j < i) {
                    ++ cnt[sum[j] + n];
                    ++ j;
                }
            }

            ans -= cnt[sum[i] + n];
        }
    }

    std::cout << ans << "\n";
}