P4556 [Vani有约会] 雨天的尾巴 [模板] 线段树合并

难度	算法s	日期	题目链接
省选/NOI-	线段树合并	2025-07-19	https://luogu.com.cn/problem/4556

大名鼎鼎的线段树合并模板题。

题意简述

给定一棵 \(n\) 个节点的树。处理 \(m\) 次修改，每次给定一个 \(x,y,z\)，表示给 \(\delta(x,y)\) 这条路径上所有的节点发一份 \(z\) 类型的救济粮，最后要求输出每个节点内救济粮最多的那个种类。

范围：\(1\le n,m\le10^5\)，\(1\le x,y\le n\)，\(1\le z\le10^5\)。

思路

• 首先涉及到修改树上的一条路径，显然考虑用树上差分维护救济粮数量。每次修改让 \(x,y\) 对应的 \(z\) 救济粮的计数器 \(+1\)，\(\text{LCA}(x,y),f(\text{LCA}(x,y))\) 的 \(z\) 救济粮计数器 \(+1\)。然后某节点救济粮的真正数量就是其子树和。

• 我们人为地规定根为 \(1\)。

• 那么怎么快速地维护 “某节点救济粮最多的是哪种” 呢？考虑使用 “线段树二分”。我们对每个节点建立一个线段树，维护 \([1,10^5]\) 上每种救济粮有多少。显然这样暴力开要 MLE，那么我们用动态开点线段树就好了。

• 具体来说，线段树的每个节点维护两个变量：kind 和 amount。kind 表示该节点管辖的区间内哪种救济粮最多，amount 表示最多的救济粮有多少。pushup() 这样写：

  void pushup(int cur) {
      // 左儿子的 kind 总是小于右儿子的
      if (nodes[nodes[cur].ls].amount >= nodes[nodes[cur].rs].amount) {
          nodes[cur].amount = nodes[nodes[cur].ls].amount;
          nodes[cur].kind = nodes[nodes[cur].ls].kind;
      } else {
          nodes[cur].amount = nodes[nodes[cur].rs].amount;
          nodes[cur].kind = nodes[nodes[cur].rs].kind;
      }
  }
  

• 对于叶子节点，kind 和 amount 就是“原始数据”了。

• 如何快速地统计子树和？用线段树合并就好了。我们不断向下 DFS，合并线段树。我们搜到一个节点，当所有子节点的回溯都完成时，所有子节点也都合并（到当前节点）了，这时当前节点存的 kind 就是我们想要的答案。我们要一边合并一边记录答案。

• 合并的时候，具体这样写：

  int merge(int l, int r, int a, int b) {
      if (not a) return b;
      if (not b) return a;
      if (l == r) {
          nodes[a].amount += nodes[b].amount;
          nodes[a].kind |= nodes[b].kind; // 重要！！！！！有可能 a 没有存放这种救济粮，kind 就没设置过！！！
      } else {
          int m = l + ((r - l) >> 1);
          nodes[a].ls = merge(l ,m, nodes[a].ls, nodes[b].ls);
          nodes[a].rs = merge(m + 1, r, nodes[a].rs, nodes[b].rs);
          pushup(a);
      }
      return a;
  }
  

  注意一下注释的地方就好了。我卡了很久（75pts）。