P7074 [CSP-J2020] 方格取数

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题目描述

设有 n * m 的方格图，每个方格中都有一个整数。现有一只小熊，想从图的左上角走到右下角，

每一步只能向上、向下或向右走一格，并且不能重复经过已经走过的方格，也不能走出边界。小熊会

取走所有经过的方格中的整数，求它能取到的整数之和的最大值。

 输入格式

第一行有两个整数 n, m。

接下来 n 行每行 m 个整数，依次代表每个方格中的整数。

输出格式

一个整数，表示小熊能取到的整数之和的最大值。

做法【dp】

阶段

因为只能往左不能往右，所以我们可以以一列作为一个阶段。

又因为路线不能重复，所以在一列之中，只能一直向上或一直向下，所以我们分类讨论。

PS：妙啊，通过分类讨论来解决路径的后效性问题。

状态定义

\(dp_{i,j,t}\) 表示位于第 \(i\) 行 ，第 \(j\) 列，当 \(t\) \(=\) \(1\) 时,表示从上方来到当前格,当 \(t\) \(=\) \(0\) 时，表示从下方来到当前格，时得到的最大值。

状态转移方程

当 \(t = 1\) 时:

\(dp_{i,j,t} = \max (dp_{i,j-1,0},dp_{i,j-1,1},dp_{i-1,j,1}) + a_{i,j}\)

当 \(t = 0\) 时:

\(dp_{i,j,t} = \max (dp_{i,j-1,0},dp_{i,j-1,1},dp_{i+1,j,0}) + a_{i,j}\)

初始化

因为起点在左上角，所以第一列只能自上往下走。

$dp_{i,1,1} = dp_{i-1,1,1} + a_{i,1} $

code

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,m;
ll a[1005][1005],v[1005][1005][2],f[1005][1005];
int main(){
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	for(ll i=1;i<=n;i++)
		for(ll j=1;j<=m;j++) scanf("%lld",&a[i][j]);
	memset(v,0xcf,sizeof(v));
	for(int i=1;i<=n;i++) f[i][1]=f[i-1][1]+a[i][1];
	for(int j=2;j<=m;j++){
		for(int i=1;i<=n;i++) v[i][j][1]=max(f[i][j-1],v[i-1][j][1])+a[i][j];
		for(int i=n;i>=1;i--) v[i][j][0]=max(f[i][j-1],v[i+1][j][0])+a[i][j];
		for(int i=1;i<=n;i++) f[i][j]=max(v[i][j][0],v[i][j][1]); 
	}
	cout<<f[n][m]<<endl;
	return 0;
}

summary

这道题与普通的区间 \(DP\) 不同，不止可以往左，往下走，还可以往上走，这样就无法满足 \(DP\) 的无后效性。

为了解决这个问题，于是采用了分类讨论的方法。

因为只能往左，所以我们可以把每列分成一个阶段。因为路径不能重叠，所以对于每一列，只能一直向上或者一直向下。

于是我们在正常的区间 \(DP\) 上再加一维来记录向上 or 向下走。

$ -End-$

\(2022.8.17\)

\(\color{red}{百道 DP 系列第 1 题}\)

加油！冲冲冲！