斜率优化 DP

\[F(i)=min{F(j)+C(j)+D(i)+K(i)X(j)} \\ \]

对于上面的形式，我们可以考虑斜率优化。

注意若 \(X\) 或 \(K\) 不单调的话，这里不讨论我也不会啊

设 \(a\le b,F(a)\le F(b)\)。

\[F(a)+C(a)+D(i)+K(i)X(a)\le F(b)+C(b)+D(i)+K(i)X(b)\\ (F(a)+C(a))-(F(b)+C(b))\le -K(i)(X(a)-X(b))\\ \]

若 X 单调递增。

\[\frac{(F(a)+C(a))-(F(b)+C(b))}{-(X(a)-X(b))}\le K(i) \]

若 X 单调递减。

\[\frac{(F(a)+C(a))-(F(b)+C(b))}{X(a)-X(b)}\le -K(i) \]

注意若 \(x(a)=X(b)\) 要特判。

发现这可以看成 \((X(a),F(a)+C(a)),(X(b),F(b)+C(b))\) 两点的斜率。