博弈论
首先以下内容讨论的都是非合作博弈（就是参与者的合作不是强制履行的，而是利益的合作）
严谨点：非合作博弈是研究理性个体在无外部强制协议约束下，策略相互依赖且均衡结果为纳什均衡的决策模型。
看不懂。
对称/非对称博弈(SG/AG)
收益只和行为有关，与参与者身份无关，反之非对称博弈。
零和博弈/非零和博弈(ZSG/NZSG)
收益是守恒的，就是一部分的收益总和始终等于另一部分人的损失的绝对值之和，反之非零和博弈。
同时/序贯博弈
同时博弈：所有人在不知道其他人的决策下做出决策。
序贯博弈：参与者依次行动，即知道前面部分人的决策之后再进行决策。
完美/不完美信息博弈(PIG/IIG)
参与者在任意时刻做出决策前，完全知道前面的所有信息，反之不完美信息博弈。
组合博弈(CG)
两人轮流行动的、完美信息、无随机因素的博弈。
公平/非公平组合博弈
所有参与者在相同状态下的合法移动集合相同的组合博弈，反之非公平组合博弈。
正常/不正常博弈（ICG/PCG）
正常博弈：最后一名行动的参与者是胜利者。
不正常博弈：最后一名行动的参与者是失败者。
复述了一遍oi-wiki。
Nim 游戏
这是博弈论的最基础的游戏。
规则：地上有 n 堆石子，每人每次可从任意一堆石子里取出任意多枚石子扔掉，可以取完，不能不取。每次只能从一堆里取。最后没石子可取的人就输了。
这显然是公平组合博弈，且是正常博弈。
对于这种问题，应该绘制博弈图会好做些方便打表找规律，当然我懒得手绘了，这里自己看吧。
记：（先手）必胜状态为 N 态，（先手）必败状态为 P 态。
对于这种公平组合博弈，且是正常博弈的游戏有：
1.没有后继状态的状态是 P 态。
2.一个状态是 N 态 当且仅当存在至少一个它的后继状态为 P 态。
3.一个状态是 P 态 当且仅当它的所有后继状态均为 N 态。
应该很好理解，就不证明了。
于是我们可以通过这样绘制出博弈图进行求解。
Nim 和：(\(a_1,a_2,\dots,a_n\))的 Nim 和为 \(a_1 \oplus a_2\oplus \dots \oplus a_n\)。
状态 (\(a_1,a_2,\dots,a_n\)) 是 P 态 ,当且仅当 Nim 和 \(a_1 \oplus a_2\oplus \dots \oplus a_n = 0\)
证明
考虑归纳法.
若 \(a_1,\dots,a_n\) 全都为 0,显然是 P 态,且 Nim 和为 0,命题成立.
若 \(a_1 \oplus a_2\oplus \dots \oplus a_n=k\neq 0\),设 k 的最高位二进制是第 d 位,此时一定存在一个 \(a_i\) 第 d 位为 1,此时有 \(a_i\oplus k<a_i\),这时我们可以把 \(a_i\) 减到 \(a_i\oplus k\),就可以令 Nim 和为 0 了.
若 \(a_1 \oplus a_2\oplus \dots \oplus a_n=k= 0\),此时你不论怎么拿都不可能使得 Nim 和为 0 了.
先留着……
阶梯博弈
规则：有 \(n\) 级阶梯，第 \(i\) 级阶梯上放置有 \(a_i\) 个石子 $1 \le i \le n\ $。两名玩家轮流行动，每一步将第 \(i\) 级阶梯上的任意正整数个石子移动到第 \(i-1\) 级阶梯上 $i \ge 2$，或将第 \(1\) 级阶梯上的石子移除，无法进行合法移动的玩家判负。
这是 Nim 博弈的一个变形。
考虑暴力推 sg，找规律。
| (a1,a2,a3) | SG | 奇数异或和 |
|---|---|---|
| (0,0,0) | 0 | 0 |
| (1,0,0) | 1 | 1 |
| (0,0,1) | 1 | 1 |
| (1,0,1) | 0 | 0 |
| (2,0,0) | 2 | 2 |
| (0,0,2) | 2 | 2 |
| (2,0,1) | 3 | 3 |
| (1,0,2) | 3 | 3 |
| (2,0,2) | 0 | 0 |
| (1,1,0) | 1 | 1 |
| (1,1,1) | 0 | 0 |
| (2,1,1) | 3 | 3 |
| (1,1,2) | 3 | 3 |
| (2,1,2) | 0 | 0 |
| (0,1,1) | 1 | 1 |
| (0,1,2) | 2 | 2 |
| (1,2,1) | 0 | 0 |
| (2,2,2) | 0 | 0 |
至于为什么是奇数异或和，这得要经验（直觉）了毕竟本来就是打表找规律。
现在，我们已经得出结论了。
状态 (\(a_1,a_2,\dots,a_n\)) 是 P 态 ,当且仅当奇数位置异或和 \(a_1 \oplus a_3\oplus \dots = 0\)。
现在证明这个结论，步骤和 Nim 游戏证明差不多。
证明
还是考虑归纳法.
若 \(a_1,\dots,a_n\) 全都为 0,显然是 P 态,且奇数位置异或和为 0,命题成立.
若 \(a_1 \oplus a_3\oplus \dots\neq 0\)，此时 Nim 游戏相同的分析法，一定可以使得奇数位置异或和为 0。
若 \(a_1 \oplus a_3\oplus \dots= 0\)，如果移动奇数位置，显然不可能使得奇数位置异或和为 0，如果移动偶数位置，则后手只需将其下移即可。
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