平衡树大总结

二叉搜索（排序）树（Binary Search（Sort） Tree, BST）

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BST 是满足一下性质的二叉树：

1.若根节点的右子树非空，则右子树的所以点的点值都大于根节点。
2.若根节点的左子树非空，则左子树的所以点的点值都小于根节点。
3.根的左右子树都为 BST。

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不过正常维护 BST 插入删除是 \(O(N)\) 的（链），于是dalao们发明了各种各样的平衡树（优化的 BST ）来均衡复杂度。

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AVL-trees

又称高度平衡二叉树。

定义 \(h_u\) 表示以 \(u\) 为根的树的高度（这里把空树的高度定义为 1），\(L_u\) 是 \(u\) 的左子树，\(R_u\) 是 \(u\) 的右子树。

性质：
1.满足 BST 性质。
2.\(L_u\) 和 \(R_u\) 是 AVL。
3.\(|h_{L_u}-h_{R_u}|\le 1\)。

性质三可以看出来 AVL 的树高满足 \(O(\log N)\)（具体约是 \(1.44\log_2 N\)，不过我不会证）。

而为了方便维护性质三，我们对于每一个节点设一个平衡因子 bf。
定义 \(bf_{u}=h_{L_u}-h_{R_u}\)。
不难看出 bf 取值只有 \(-1,0,1\)，而若 \(|bf|> 1\)，则我们称这棵二叉树失衡了，接下来考虑然后处理失衡。

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rotate

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