26春 日总结24

01背包问题

1. 问题定义
   · 有 n 个物品，每个物品 i 有一个重量 w[i] 和价值 v[i]
   · 给定一个容量为 C 的背包
   · 每个物品只能选一次（0 或 1），目标是让背包内物品总价值最大

2. 动态规划状态定义
   二维 DP：
   dp[i][j] 表示考虑前 i 个物品，背包容量为 j 时能获得的最大价值。
   转移方程：
   dp[i][j] = max( dp[i-1][j] , dp[i-1][j - w[i]] + v[i] )
   · 不选第 i 个物品 → dp[i-1][j]
   · 选第 i 个物品（前提 j ≥ w[i]） → dp[i-1][j-w[i]] + v[i]
   边界：dp[0][j] = 0（0 个物品时价值为 0）
   最终答案：dp[n][C]

3. 空间优化（一维滚动数组）
   观察发现 dp[i][j] 只依赖于 i-1 行的数据，因此可以降为一维数组 dp[j]。
   关键：内层循环必须倒序遍历容量，避免同物品被重复使用。

def knapsack_01(weights, values, C):
n = len(weights)
dp = [0] * (C + 1)
for i in range(n):
# 倒序保证每个物品只选一次
for j in range(C, weights[i] - 1, -1):
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weights[i]] + values[i])
return dp[C]

4. 例子
   · n = 3, C = 5
   · 物品1：(w=2, v=4)
   · 物品2：(w=3, v=5)
   · 物品3：(w=4, v=6)
   二维 DP 计算后最优解为：选物品1+物品2，总重5，总价值9。

5. 复杂度
   · 时间：O(n * C)
   · 空间：O(C)（优化后）

6. 如何回溯找出选了哪些物品？
   可以用二维 dp 记录选择路径，或额外记录一个 choice[i][j] 数组。常见做法：从 dp[n][C] 倒推，如果 dp[i][j] == dp[i-1][j] 说明没选 i，否则选了 i 并令 j -= w[i]。