【转】POJ 1177 (线段树+离散化+扫描线) 详解

摘要: POJ 1177 (线段树+离散化+扫描线)，题目链接为http://poj.org/problem?id=1177在做本题之前，必须先了解什么是线段树和离散化，请看前一篇博文线段树(segment tree)，里面对线段树和离散化的说明相对比较清楚了。对 ...

 

POJ 1177 (线段树+离散化+扫描线)，题目链接为http://poj.org/problem?id=1177

在做本题之前，必须先了解什么是线段树和离散化，请看前一篇博文线段树(segment tree)，里面对线段树和离散化的说明相对比较清楚了。

 

对于这题，我们的思路步骤如下(代码和下面的文字解释结合着看)：

1.对于输入的N个矩形，有2*N条纵向边，我们把这些边叫做扫描线

2.建立一个struct ScanLine，保留这些扫描线

struct ScanLine{  int x;//横坐标  int y1;//扫描线的下端点  int y2;//扫描线的上端点  int flag;//若该扫描线属于矩形的左边的竖边，如AB，则叫做入边，值为1，若属于矩形的右边的竖边，如CD，则叫做出边，值为0};

3.建立数组struct ScanLine scan[LEN]；保存输入值，同时用y[LEN]保存所有的纵向坐标

4.对scan数组进行排序，即所有竖边从左往右排序；对y排序并去除重复值，然后离散化，建立线段树。（PS：线段树的node[i].left和node[i].right保存的都是离散化的值，y[node[i].left]和y[node[i].right]保存的就是实际值，这个在代码中很容易理解）

线段树节点struct Node

struct Node{  int left;  int right;  int count;//被覆盖次数  int line;//所包含的区间数量，如三条[1,2]，[2,3]，[4,5]线段被覆盖，则line=2，因为 [1,2]，[2,3]是连续的。这个是用来辅助计算横边的，如图，在AB和EG之间的横边AK和BL，它们是边界，line=1，|AB|+|EG|=2*line*|AB|  int lbd;//左端点是否被覆盖，用来辅助对line的计算  int rbd;//右端点是否被覆盖，用来辅助对line的计算  int m;//测度，即覆盖的区间长度，如[2,8]就为6};

好的，上面建立了大的框架，然后就开始扫描了。

1.将排序后的scan数组依次输入，执行插入线段insert函数(为入边)或者remove函数(为出边)，同时更新m和line

2.没扫描一次，就要计算一次周长perimeter，这里我们以图中的例子来讲解过程：

   首先是AB，它被插入线段树，perimeter = perimeter + |AB|；

   然后是EG，它被插入线段树，此时线段树的root节点的测度为|EG|的值，但由于之前之前加过|AB|，因而应该减去|AB|，其实就是减去|KL|，然后再加上line*2*|AK|，这里的line的值是未插入EG时线段树的根节点的line值。

 

具体代码如下：

#include <stdio.h>
#include"iostream"
#include <algorithm>
#define LEN 10000
using namespace std;
struct Node{//Y方向
int left;
int right;
int count;//被覆盖次数
int line;//所包含的区间数量，如三条[1,2]，[2,3]，[4,5]线段被覆盖，则line=2，（Y方向）
//因为 [1,2]，[2,3]是连续的。这个是用来辅助计算横边的，如图，
//在AB和EG之间的横边AK和BL，它们是边界，line=1，|AB|+|EG|=2*line*|AB|
int lbd;//左端点是否被覆盖，用来辅助对line的计算
int rbd;//右端点是否被覆盖，用来辅助对line的计算
int m;//测度，即覆盖的区间长度，如[2,8]就为6（Y方向）
};
//对于输入的N个矩形，有2*N条纵向边，我们把这些边叫做扫描线建立一个struct ScanLine，保留这些扫描线
struct ScanLine{
int x;//横坐标
int y1;//扫描线的下端点
int y2;//扫描线的上端点
int flag;//若该扫描线属于矩形的左边的竖边，如AB，则叫做入边，值为1
//若属于矩形的右边的竖边，如CD，则叫做出边，值为0
};
struct Node node[LEN*4];
struct ScanLine scan[LEN];//建立数组struct ScanLine scan[LEN]保存输入值
int y[LEN];//用y[LEN]保存所有的纵向坐标
void build(int l, int r, int i){//采用数组保存建立线段树（l，r为Y方向离散出来的点），也可以利用指针
node[i].left = l;
node[i].right = r;
node[i].count = 0;
node[i].m = 0;
node[i].line = 0;
if (r - l > 1){//递归建立线段树
int middle = (l + r)/2;
build(l, middle, 2*i + 1);
build(middle, r, 2*i + 2);
}
}
//更新测度m
void update_m(int i)
{
if (node[i].count > 0)//node[i]被覆盖
node[i].m = y[node[i].right] - y[node[i].left];
else if (node[i].right - node[i].left == 1)//node[i]未被覆盖，到达叶节点
node[i].m = 0;
else{//node[i]被覆盖，未到达叶节点
node[i].m = node[2*i + 1].m + node[2*i + 2].m;
}
}
//更新line
void update_line(int i){
if (node[i].count > 0)//node[i]被覆盖
{
node[i].lbd = 1;
node[i].rbd = 1;
node[i].line = 1;
}
else if (node[i].right - node[i].left == 1)//node[i]未被覆盖，到达叶节点
{
node[i].lbd = 0;
node[i].rbd = 0;
node[i].line = 0;
}
else//node[i]被覆盖，未到达叶节点
{
node[i].lbd = node[2*i + 1].lbd;//左子树
node[i].rbd = node[2*i + 2].rbd;//右子树
//当左右端点都被覆盖，line减去1
node[i].line = node[2*i + 1].line + node[2*i + 2].line - node[2*i + 1].rbd*node[2*i + 2].lbd;
}
}
//注意，count在insert和remove中的变化分析参照文章“【转】线段树(segment tree)”
void insert(int l, int r, int i){//此处l，r为离散化前Y方向的值
//在这里要利用y[node[i]]取出node[i]离散化之前的值跟l和r进行比较 
if (y[node[i].left] >= l && y[node[i].right] <= r)//node[i]被[l,r]覆盖
(node[i].count)++;
else if (node[i].right - node[i].left == 1)//node[i]未被[l,r]覆盖，到达叶节点
return;
else//node[i]未被[l,r]覆盖，未到达叶节点
{
int middle = (node[i].left + node[i].right)/2;
if (r <= y[middle])
insert(l, r, 2*i + 1);
else if (l >= y[middle])
insert(l, r, 2*i + 2);
else
{
insert(l, y[middle], 2*i + 1);
insert(y[middle], r, 2*i + 2);
}
}
//更新当前Y方向度m和线段数line
update_m(i);
update_line(i);
}
void remove(int l, int r, int i){
//在这里要利用y[node[i]]取出node[i]离散化之前的值跟l和r进行比较 
if (y[node[i].left] >= l && y[node[i].right] <= r)//node[i]被[l,r]覆盖
(node[i].count)--;
else if (node[i].right - node[i].left == 1)//node[i]未被[l,r]覆盖，到达叶节点
return;
else//node[i]未被[l,r]覆盖，未到达叶节点
{
int middle = (node[i].left + node[i].right)/2;
if (r <= y[middle])
remove(l, r, 2*i + 1);
else if (l >= y[middle])
remove(l, r, 2*i + 2);
else
{
remove(l, y[middle], 2*i + 1);
remove(y[middle], r, 2*i + 2);
}
}
update_m(i);
update_line(i);
}

bool cmp(struct ScanLine line1, struct ScanLine line2)
{
if (line1.x == line2.x)
return line1.flag > line2.flag; //若x相等，按照flag从高到低排序（先入边后出边）
return (line1.x < line2.x); //否则，按照x从低到高排序
}

/*
1.将排序后的scan数组依次输入，执行插入线段insert函数(为入边)或者remove函数(为出边)，同时更新m和line
2.每扫描一次，就要计算一次周长perimeter，这里我们以图中的例子来讲解过程：
首先是AB，它被插入线段树，perimeter = perimeter + |AB|；
然后是EG，它被插入线段树，此时线段树的root节点的测度为|EG|的值，但由于之前加过|AB|，因而应该减去|AB|，其实就是减去|KL|，然后再加上line*2*|AK|，这里的line的值是未插入EG时线段树的根节点的line值。
*/
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
int x1, y1, x2, y2;
int i = 0;
while(n--)
{
scanf("%d %d %d %d", &x1, &y1, &x2, &y2);
scan[i].x = x1;
scan[i].y1 = y1;
scan[i].y2 = y2;
scan[i].flag = 1;//标记为入边
y[i++] = y1;

scan[i].x = x2;
scan[i].y1 = y1;
scan[i].y2 = y2;
scan[i].flag = 0;//标记为出边
y[i++] = y2;
}
/*
对scan数组进行排序，即所有竖边从左往右排序；对y排序并去除重复值，然后离散化，建立线段树。
（PS：线段树的node[i].left和node[i].right保存的都是离散化的值，
y[node[i].left]和y[node[i].right]保存的就是实际值，这个在代码中很容易理解）
*/
sort(scan, scan + i, cmp);

//检测scan排序后的结果
for(int ii=0;ii<i;ii++)
cout<<scan[ii].x<<" ";
cout<<endl;

sort(y, y + i); 

int unique_count = unique(y, y + i) - y; //y数组中不重复的个数

build(0, unique_count - 1, 0); //离散化，建立线段树
int perimeter = 0;
int now_m = 0;
int now_line = 0;
for(int j=0;j<i;j++)
{
if (scan[j].flag)
insert(scan[j].y1, scan[j].y2, 0);
else
remove(scan[j].y1, scan[j].y2, 0);

perimeter += abs(node[0].m - now_m);//now_m是上一次的度，node[0]则是当前度；详见程序后图示，方便理解
now_m = node[0].m; //根节点0的m值

 

if (j >= 1) 
perimeter += 2*now_line*(scan[j].x - scan[j-1].x); 
now_line = node[0].line; //根节点0的line值
}
printf("%d\n", perimeter);
system("pause");
return 0;
}