洛谷P4568 [JLOI2011]飞行路线(分层图最短路)

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题目大意

有\(n(1\leq n\leq 10^4)\)个顶点，\(m(1\leq m\leq 5\times10^4)\)条无向边，边权为\(wi(1\leq wi\leq 10^3)\)，最多可以将其中的\(k(0\leq k\leq 10)\)条边的边权变为\(0\)，求\(s-t\)的最短路。

思路

这是一道分层图最短路的模板题，有2种解法。

Solution1

建分层图，顶点\(i+j\times n\)表示进行了\(j\)次变\(0\)操作后到达的\(i\)点，如果原图中有边\(u-v\)，则在分层图中有边\((u+j\times n)-(v+j\times n)\),权值不变,同时还要连单向边\((u+j\times n)->(v+(j+1)\times n)\)和\((v+j\times n)->(u+(j+1)\times n)\)，边权为0。

\(ans\)即为\(d[t+j\times n](0\leq j\leq k)\)的最小值。

注意数组一定要开够！！！

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long 
#define maxn1 200005
#define maxn2 2100005//数组一定要开够 
#define INF 2200000000
template<typename T>void read(T& x){
    int f=0;x=0;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){f|=(ch=='-');ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+(ch^48);ch=getchar();}
    if(f)x=-x;
}
int head[maxn1],to[maxn2],nxt[maxn2],vis[maxn1],cnt=0;
ll d[maxn1],w[maxn2];
int n,m,k;
struct node{
    ll d;
    int x;
    node(ll d,int x):d(d),x(x){}
    bool operator < (const node& a)const{
        return d>a.d;
    }
};
void add(int u,int v,ll ww){
    nxt[++cnt]=head[u];
    to[cnt]=v;
    w[cnt]=ww;
    head[u]=cnt;
}
ll dij(int s,int t){
    for(int i=0;i<=(k+1)*n-1;++i)d[i]=INF;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    priority_queue<node>q;
    d[s]=0;
    q.push(node(0,s));
    while(!q.empty()){
        int u=q.top().x;q.pop();
        if(vis[u])continue;
        vis[u]=1;
        for(int i=head[u];i!=-1;i=nxt[i]){
            int v=to[i];
            if(d[v]>d[u]+w[i]){
                d[v]=d[u]+w[i];
                q.push(node(d[v],v));
            }
        }
    }
    ll ans=INF;
    for(int i=0;i<=k;++i)
        ans=min(ans,d[t+i*n]);
    return ans;
}
int main(){
    int s,t;
    int u,v,ww;
    read(n),read(m),read(k);
    read(s),read(t);
    for(int i=0;i<=(k+1)*n-1;++i)head[i]=-1;
    for(int i=1;i<=m;++i){
        read(u),read(v),read(ww);
        for(int j=0;j<=k;++j){
            add(u+j*n,v+j*n,ww);
            add(v+j*n,u+j*n,ww);
            if(j!=k){
                add(u+j*n,v+(j+1)*n,0);
                add(v+j*n,u+(j+1)*n,0);
            }
        }
    }
    printf("%lld",dij(s,t));
    return 0;
}

Solution2

用\(d[sta][v]\)表示从\(s\)到\(v\)使用了\(sta\)次变\(0\)操作后的最短路长度，本质上是DP，具体转移方程看代码。

\(ans\)即为\(d[sta][t](0\leq sta\leq k)\)的最小值。

相比于第一种解法,这种解法更快,也更省空间。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define maxn1 10005
#define maxn2 100005
#define INF 0x3f3f3f3f
template<typename T>void read(T& x){
    int f=0;x=0;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){f|=(ch=='-');ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+(ch^48);ch=getchar();}
    if(f)x=-x;
}
int head[maxn1],to[maxn2],nxt[maxn2],w[maxn2],cnt=0;
int d[11][maxn1],vis[11][maxn1];
int n,m,k;
struct node{
    int d,x,sta;
    node(int d,int x,int sta):d(d),x(x),sta(sta){}
    bool operator < (const node& a)const{
        return d>a.d;
    }
};
void add(int u,int v,int ww){
    nxt[++cnt]=head[u];
    to[cnt]=v;
    w[cnt]=ww;
    head[u]=cnt;
}
int dij(int s,int t){
    memset(d,INF,sizeof(d));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    priority_queue<node>q;
    d[0][s]=0;
    q.push(node(0,s,0));
    while(!q.empty()){
        int u=q.top().x,sta=q.top().sta;q.pop();
        if(vis[sta][u])continue;
        vis[sta][u]=1;
        for(int i=head[u];i!=-1;i=nxt[i]){
            int v=to[i];
            if(d[sta][v]>d[sta][u]+w[i]){
                d[sta][v]=d[sta][u]+w[i];
                q.push(node(d[sta][v],v,sta));
            }
            if(sta+1<=k&&d[sta+1][v]>d[sta][u]){//一定要判断sta+1<=k，否则会RE\WA
            d[sta+1][v]=d[sta][u];
            q.push(node(d[sta+1][v],v,sta+1));
            }
        }
    }
    int ans=INF;
    for(int i=0;i<=k;++i)
        ans=min(ans,d[i][t]);
    return ans;
}
int main(){
    int s,t;
    int u,v,ww;
    read(n),read(m),read(k);
    read(s),read(t);
    memset(head,-1,sizeof(head));
    for(int i=1;i<=m;++i){
        read(u),read(v),read(ww);
        add(u,v,ww);
        add(v,u,ww);
    }
    printf("%d",dij(s,t));
    return 0;
}