2026/10/16衡中集训

模拟赛

已完成今日八个人330大学习

T1 还原零一串

很简单的一个题，读题能知道每次放要么左边0右边1，要么左边1右边0
所以还原到原来的字符串就是现在字符串删去1与0交替的前后缀的字符串
可以定义两个指针l为第一位和r为最后一位，如果这两个对应的字符是一个1一个0，就l++,r--，最后输出r-l+1即可

T2 cyw 的学习计划

简单的dp题，可以定义dp[i][1],dp[i][2],dp[i][3]为当前天数选a,b,c科的最小花钱数
因为两天不能选一样的，所以dp[i][x]就需要从dp[i][y],dp[i][z]中的最小值转移过来
易得以下转移方程：

dp[i][1]=min(dp[i-1][2], dp[i-1][3])+a[i];
dp[i][2]=min(dp[i-1][1], dp[i-1][3])+b[i];
dp[i][3]=min(dp[i-1][1], dp[i-1][2])+c[i];

最后输出min({dp[n][1], dp[n][2], dp[n][3]})即可

T3 迷宫

本来还以为是什么高深的dp，结果一看\(n\leq1000\)就踏实了，可以直接BFS
不难发现0在奇数时间为空地，偶数时间为障碍，1则相反，那我们可以定义u在BFS中为空地的数字
即在奇数时间为0，偶数时间为1，最后判断能不能走就是mp[nxtx][nxty]==u（nxtx,nxty为下一步走的坐标），最后BFS到了取最小值即可

T4 异或平方和

666吓哭了，比昨天的K题难多了，你看这个\(\LaTeX\)就知道了
给n个整数，让你求
\(\Large \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=i}^{n}\left(⨁\limits^j_{k=i}a_k\right)^2 \mod 998244353\)
很明显，这个式子可以简化成这种形式：
\(\large \sum\limits_{i\leq j}(a_i\oplus a_{i+1}\cdots\oplus a_j)^2\)
这里我们可以定义pre[i]表示1~i的前缀异或，因为异或有自反性，所以pre[i~j]=pre[j]^pre[i-1]所以我们的题目就简化成了求
\(\large \sum\limits_{x<y}(pre_x\oplus pre_y)^2\)
暴力枚举每个x, y可以拿到30分（这也是很多人的做法），考虑正解吧
令\(K=(pre_x\oplus pre_y)^2\)，把\(K\)按位拆分就是\(K=\sum\limits_{b}K_b2^b\)
把\(K\)带入平方，就能得到\(K^2=\sum\limits_{p}\sum\limits_{q}K_pK_q2^{p+q}\)
只有当\(k_p\)和\(k_q\)都为1时才会做出贡献\(2^{p+q}\)，另外如果p=q就只会数1次，如果p<q就意味着会被数两次，贡献也就是\(2\times 2^{p+q}\)，我们可以设为w
因为\(N=2\times 10^5\)，二进制最多有18位，所以可以直接枚举p=0~18,q=0~18
接下来就是O(n)的循环枚举每个前缀和pre，统计所有的贡献了，但是我们如何能一次循环就做到这一点捏
我们知道异或有个特性，如果a^1=n那么就有a^n=1，所以对于pre[i]的二进制第p位和第q位，我们也要去找这样与他异或后=1的数，其实就是第p位与q位^1
可以定义一个cnt[2][2]，第一位表示对于每个pre的p位，在pre[i]之前出现过几次0/1，第二位同理就是q的情况
令pre[i]第p位为x，q位为y，所以这样对于每个pre[i]的贡献就是cnt[x^1][y^1]，再乘以原先每一位的贡献w，令答案ans累加即可
注意计算pre, w, ans以及记录\(2^i\)的数组pw都要mod 998244353

后语

额啊这个题思维含量实在是太高辣 可能有绿吧 ，看题解理解也需要很长的时间，不过最后这个题也是听懂了，也感谢田有策和许喆迦给我讲解这个题，让我对这个题有更深的理解和收获，太强啦%%%

关于$\LaTeX$

另外有些同学希望要我的$\LaTeX$，这里也给出来吧：

题面：$\Large \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=i}^{n}\left(⨁\limits^j_{k=i}a_k\right)^2 \mod 998244353$
化简1：$\large \sum\limits_{i\leq j}(a_i\oplus a_{i+1}\cdots\oplus a_j)^2$
化简2：$\large \sum\limits_{x<y}(pre_x\oplus pre_y)^2$
K与K拆分：$K=(pre_x\oplus pre_y)^2$ $K=\sum\limits_{b}K_b2^b$
K带入平方：$K^2=\sum\limits_{p}\sum\limits_{q}K_pK_q2^{p+q}$

关于cnt数组，老师给的解释

（另一种组合数的解释，来源自老师给的T4代码的解释）、