C++ 知识点选讲 9——骗分试例 1（从暴力开始骗着骗着 AC 了？）

让我们从一道简单的题目入手，看看如何优化自己的暴力。

数对

题目背景

猫猫吃掉了题目背景。

题目描述

给出一个序列 \(a\)，长度为 \(n\)。

小 A 对这个数列发明了一个新定义：淘气对。小 C 将来解释一下这是什么意思。

淘气对定义：
当序列中有两个位置不同数。设在前面的数为 \(a_x\)，后面的数为 \(a_y\)，如果 \(a_x > a_y\) 且 \(x < y\)，这个数对 \((x,y)\) 就是“淘气对”。

小 B 想知道，序列 \(a\) 的下标 \(l\) 至 \(r\) 中有几对“淘气对”。当然，下标从 \(1\) 开始。

众所周知，有个叫 rand 的东西，为防止你用这个东西蒙混过关，小 B 会问你 \(q\) 次。

输入格式

第一行，两个整数 \(n\) 和 \(q\)，以空格隔开。
第二行，\(n\) 个整数，第 \(i\) 个数表示 \(a_i\)。
第三至 \(2+q\) 行，每行两个整数 \(l\) 和 \(r\)，以空格隔开。

输出格式

\(q\) 行，每行一个整数，表示序列 \(a\) 的 \(l \sim r\) 下标中有多少对逆序对。

输入输出样例 #1

输入 #1

4 1
3 2 3 2
1 4

输出 #1

3

说明/提示

$n \le $	\(q \le\)	\(l\le\)	\(r\le\)	\(a_i\le\)	分数	特殊性质
\(2\)	\(1\)	\(1\)	\(2\)	\(10^9\)	\(5\)	无
\(4\)	\(1\)	\(1\)	\(4\)	\(3\)	\(1\)	A
\(10^3\)	\(10\)	\(1\)	\(10^3\)	\(10^9\)	\(10\)	B
\(10^4\)	\(10^3\)	\(1\)	\(2\)	\(10^9\)	\(13\)	无
\(10^4\)	\(10^3\)	\(1\)	\(10^4\)	\(10^9\)	\(56\)	无
\(2\times10^4\)	\(10^5\)	\(1\)	\(2\times10^4\)	\(10^{14}\)	\(9\)	C

特殊性质 A：样例。
特殊性质 B：为 \(O(qn^2)\) 预留分数。
特殊性质 C：官方题解的正常时间复杂度可通过。

本题不是捆绑测试，请放心食用。

本题的时限由评测机所定。

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好吧如果你在模拟赛里碰到了这道题目，因为你不会写树状数组、线段树或归并排序，你想尽可能多地骗分。

Part 1

首先，看到特殊性质 A，发现是样例，所以输出 3。

当前得分：\(1\)

Part 2

看到第一档，发现 \(n \le 2\)。如果你没有学过数组，如果 \(r=2\) 我们可以用 if 判断大小。如果 \(r =1\) 就没有逆序对。时间复杂度 \(O(1)\)。

当前得分：\(1+5=6\)

Part 3

特殊性质 B 说，这 \(10\) 分是为了 \(O(qn^2)\) 而设，考虑写出 \(O(qn^2)\) 的代码。能不能尝试每次询问都求一遍逆序对呢？可以，先用 \(O(n^2)\) 枚举出所有下标对，再判值的大小就可以了，套上 \(q\) 次询问，就是 \(O(qn^2)\)。

当前得分：\(1+5+10=16\)

Part 4

第四档数据有一个特点——\(r \le 2\)。

从 Part 2 的分析中可知，

如果 \(r=2\) 我们可以用 if 判断大小。如果 \(r =1\) 就没有逆序对。

单次询问时间复杂度 \(O(1)\)，总体时间复杂度是 \(O(q)\)。

当前得分：\(1+5+10+13=29\)

Part 5

尝试优化 Part 3 中的暴力。

模拟程序运行，发现瓶颈在于，同样的数列，逆序对算了很多次！这意味着有许多重复运算，浪费时间。既然数列不会变，我们可以考虑使用离线思想进行预处理。用一个数组记录每一个下标 \(i(1 \le i \le n)\) 作为每个逆序对的第二个下标时的逆序对数量，前缀和用于查询。

很好，时间复杂度从 \(O(qn^2)\) 降到了 \(O(q+n^2)\)，可以通过第五档数据。

结果你惊奇地发现，最后一档也过了！实测确实可以 AC，可能有略微卡常。洛谷评测机实力强劲！

不错，你已经从骗分到暴力、再到 AC 了。当然如果没有 AC 也有八九十分。这要看出题人的想法。

我们要学习的是，先打暴力，然后再优化暴力。甚至可以 AC。

Part 6

Part 5 的实现最多可以跑到 \(4 \times 10^8\)。如果我们要稳过的话，要学习更高级的算法。

6.1 树状数组

为了解决这个问题，我们可以用树状数组求逆序对。

for(int i=n; i>=1; i--){
	ans+=Q(a[i]-1);
	Add(a[i]);
}

（上核心代码用于求出一个序列的逆序对数量）

在普通逆序对的基础上，使出同样的思路——一个数组记录每一个下标 \(i(1 \le i \le n)\) 作为每个逆序对的第二个下标时的逆序对数量。用前缀和 \(O(1)\) 解决查询，时间复杂度 \(O(n \log n+q)\)。可以稳过。

6.2 莫队

本题重在不修改的查询，可以使用莫队。

Part 7

为什么可以这么做？因为 \(l\) 恒为 \(1\)。

其实本题还有一个加强版，洛谷 P5047，一般使用 二次离线莫队 等解决。

Part 8

在考场上，如果一道题做不出来就建议骗分，蚂蚁腿也是肉。最后说一遍，我们要学习的是，先打暴力，然后再优化暴力。甚至可以 AC。