第五章作业

一、 回溯法分析最小重量机器设计问题
问题描述
最小重量机器设计问题的基本场景：
一台机器由 n 个部件组成，每个部件都可以从 m 个不同的供应商处采购。设w_{ij}为第 $i$ 个部件从第 j 个供应商采购的重量，c_{ij} 为对应的成本。要求在总成本不超过给定上限 C 的前提下，设计一种采购方案，使得机器的总重量最小。

1.1 解空间
回溯法的解空间是所有可能的可行解的集合，该问题的解空间可以定义为满足约束条件的部件 - 供应商分配方案的集合。

1. 解的表示
   用一个长度为 n 的一维数组 x[1..n] 表示解，其中 x[i] = j 表示第 i 个部件选择第 j 个供应商 （ 1≤i≤n,1≤j≤m ）。

2. 约束条件

   • 显式约束：每个部件只能选一个供应商，即x[i]∈{1,2,...,m}。
   • 隐式约束：所有选中部件的总成本之和不超过上限 $C$，即∑ i=1 n ​ c i,x[i] ​ ≤C。

3. 目标函数
   最小化机器的总重量，即 min∑ i=1 n ​ w i,x[i] ​ 。

4. 解空间的规模
   不考虑成本约束时，每个部件有 m 种选择，解空间的总大小为 m^n，属于排列树类型（当 m=n 时退化为全排列树）。

1.2 解空间树
该问题的解空间树是一棵m 叉树，树的层数对应部件的编号，每个结点的分支对应供应商的选择。

1. 树的结构定义

   • 根结点：位于第 0 层，表示尚未选择任何部件。
   • 第 i 层结点（ 1≤i≤n ）：表示已经确定了前 $i$ 个部件的供应商，正在处理第 i+1 个部件。
   • 叶子结点：位于第 $n$ 层，表示所有 $n$ 个部件的供应商都已确定，对应一个完整的采购方案。

2. 分支规则
   每个非叶子结点有 m 个分支，第 k个分支表示当前部件选择第 k 个供应商。

3. 示例（n=2, m=2）

   • 根结点（第 0 层）：无选择，分支为 1、2（对应部件 1 的供应商）。
   • 第 1 层结点：每个结点对应部件 1 的一个供应商，再分支为 1、2（对应部件 2 的供应商）。
   • 第 2 层叶子结点：共 2^2=4 个，对应 4 种采购方案：(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)。

4. 剪枝策略
   遍历解空间树时，若当前已选部件的总成本 ∑ k=1 i ​ c k,x[k] 已经超过 C，则该结点的所有子树都不可能是可行解，直接剪枝，无需继续遍历。

1.3 遍历过程中每个结点的状态值
为了高效剪枝和计算目标函数，每个结点需要维护以下状态值，这些状态值是回溯法中“状态回溯”的核心数据：

1. 当前部件编号 i
   表示已经处理完前 i 个部件，下一步处理第 i+1 个部件，对应解空间树的层数。
2. 当前总成本 cost
   计算公式： cost=∑ k=1 i ​ c k,x[k] 。
   作用：判断是否满足成本约束，若 cost > C 则剪枝。
3. 当前总重量 weight
   计算公式： weight=∑ k=1 i ​ w k,x[k] ​​​。
   作用：记录当前路径的重量，若到达叶子结点且为可行解，则与当前最优解比较，更新最优重量。
4. 当前选择的供应商数组 x[1..i]
   记录前 i 个部件的供应商选择，用于回溯时恢复状态（例如，尝试完 x[i]=j 后，将 $x[i]$ 重置，再尝试 x[i]=j+1）。
5. 当前最优重量 best_w
   这是全局状态值，记录遍历过程中找到的最小可行重量。若当前路径的 weight 已经大于等于 best_w，即使后续部件重量为 0，也无法得到更优解，可直接剪枝。

二、 对回溯算法的理解
回溯算法（Backtracking）是一种基于深度优先搜索（DFS）的穷举优化策略，核心思想是“试探 - 验证 - 回溯 - 剪枝”，适用于求解组合优化问题（如最小重量、最大价值）或存在性问题（如是否存在可行解）。

1. 核心思想
   回溯算法的本质是系统性地遍历解空间树，但不是盲目穷举：

• 试探：从根结点出发，沿着一条路径逐层深入，构建部分解。
• 验证：每走一步都检查当前部分解是否满足约束条件。
• 回溯：若当前路径无法得到可行解或最优解，则回退到上一层，尝试其他分支。
• 剪枝：提前排除不可能产生可行解或最优解的子树，大幅减少遍历次数。

2. 基本特征

3. 解空间的结构化
   解空间必须能表示为一棵树（排列树、子集树、m 叉树等），树的结点对应部分解，叶子结点对应完整解。

4. 状态的可回溯性
   遍历过程中需要维护当前状态（如已选元素、当前目标函数值），尝试完一个分支后，必须恢复状态，才能尝试下一个分支。

5. 剪枝的关键性
   剪枝是回溯算法高效的核心，剪枝函数通常分为两类：

   • 约束函数：排除违反显式/隐式约束的路径（如最小重量机器设计中的成本上限）。
   • 限界函数：排除无法得到最优解的路径（如当前重量已超过已知最优重量）。

6. 适用场景
   适用于解空间规模较大，但通过剪枝能大幅缩小搜索范围的问题，典型应用包括：

   • 排列组合问题：全排列、子集和、0-1 背包。
   • 分配问题：工作分配、最小重量机器设计。
   • 路径问题：八皇后、数独、旅行商问题（TSP）。

7. 回溯法的一般步骤

8. 定义解的表示：用数组或集合表示解的结构，明确每个元素的取值范围。

9. 确定解空间树的类型：判断是子集树、排列树还是 $m$ 叉树。

10. 设计状态变量：包括当前部分解、当前目标函数值、约束条件的中间值等。

11. 实现递归回溯函数：

    • 递归边界：到达叶子结点时，判断是否为可行解，更新最优解。
    • 遍历分支：对当前结点的所有可能分支，依次尝试。
    • 剪枝判断：若当前分支违反约束或无法得到更优解，跳过该分支。
    • 状态回溯：尝试完一个分支后，恢复状态，继续下一个分支。

12. 初始化：设置初始状态（如最优解为无穷大），调用回溯函数。