第四章作业

一、选点问题分析（经典区间选点问题）

1. 问题定义
   给定若干个闭区间 [a_i, b_i]，要求选择最少数量的点，使得每个区间至少包含一个选点。
2. 贪心策略
   核心策略：按区间的右端点从小到大排序，依次遍历每个区间；若当前区间未被已选点覆盖，则选择该区间的右端点作为新的选点。

具体步骤：

1. 将所有区间按右端点升序排序；

2. 初始化第一个选点为第一个区间的右端点；

3. 遍历后续每个区间：
   若当前区间的左端点 > 已选的最后一个点 → 该区间未被覆盖，选择其右端点作为新选点；
   否则 → 该区间已被覆盖，跳过。

4. 贪心选择性质证明
   贪心选择性质：局部最优选择（选当前区间右端点）可导致全局最优解。

证明过程：
假设存在一个最优解 S，其选点数量为 k；按上述贪心策略得到的解为 T，选点数量为 m。需证明 m = k（即贪心解是最优解）。

第一步：将最优解 S 的选点按从小到大排序，记为 s_1, s_2, ..., s_k；贪心解 T 的选点记为 t_1, t_2, ..., t_m。
第二步：对比第一个选点 t_1（第一个区间的右端点）和 s_1：
由于所有区间已按右端点排序，第一个区间的右端点 t_1 是所有区间中最小的右端点；
最优解 S 中，第一个选点 s_1 必须 ≤ t_1（否则第一个区间无法被覆盖）；
若 s_1 < t_1 → 可将 s_1 替换为 t_1，此时 t_1 能覆盖更多后续区间（因为 t_1 更大），替换后的解仍为最优解（选点数量不变）。
第三步：归纳推广到后续选点：
假设前 i 个贪心选点 t_1...t_i 与替换后的最优解选点一致，对于第 i+1 个区间，贪心选点 t_{i+1} 是未被覆盖区间的最小右端点，同理可替换最优解的 s_{i+1} 为 t_{i+1}，且选点数量不变。
结论：贪心解的选点数量 m 不大于最优解的 k，且贪心解是可行解（覆盖所有区间），因此 m = k，即贪心策略得到全局最优解。

4. 时间复杂度分析
   排序阶段：若有 n 个区间，排序的时间复杂度为 O(n log n)（基于比较的排序，如快速排序/归并排序）；
   遍历阶段：遍历所有区间仅需 O(n) 时间；
   总时间复杂度：O(n log n)（排序为主要耗时操作）。

二、对贪心算法的理解
贪心算法是一种以局部最优追求全局最优的算法设计范式，核心是每一步都做出当前看起来最优的选择，且不回溯。

1. 核心特征
   贪心选择性质：局部最优选择能导致全局最优解（这是贪心算法可行的关键，需严格证明）；
   最优子结构：问题的最优解包含其子问题的最优解（与动态规划共享该性质，但贪心无后效性，无需记录所有子问题解）。

2. 贪心算法的应用场景
   区间类问题（区间选点、区间调度、活动选择）；
   哈夫曼编码（按字符频率选最优二叉树）；
   最小生成树（Prim算法、Kruskal算法）；
   最短路径（Dijkstra算法，无负权边）；
   找零问题（面值满足贪心性质，如人民币面值）。

3. 设计贪心算法的关键
   确定贪心策略：需结合问题特征（如区间选点的“右端点排序”）；
   证明贪心选择性质：这是贪心算法正确性的核心（若无法证明，贪心可能得到次优解）；
   验证最优子结构：确保子问题的最优解能组合成原问题的最优解。

4. 局限性
   贪心算法并非适用于所有优化问题：若问题不满足“贪心选择性质”，局部最优无法推导出全局最优。例如：
   找零问题：若面值为 [1, 3, 4]，找零6元时，贪心选 4+1+1（3枚），但最优解是 3+3（2枚）；
   背包问题：0-1背包无法用贪心（物品不可分割），而分数背包可贪心（按单位价值排序）。