第四次作业

💡解答

1. 选点问题的贪心策略
   核心策略：按区间的右端点从小到大排序，依次选择每个区间的右端点作为选点，若当前区间已包含已选点则跳过，否则选择该区间的右端点。
   步骤拆解：
   1. 将所有区间按b_i升序排列；
   2. 初始化第一个选点为第一个区间的右端点b_1，计数count=1；
   3. 遍历后续区间，若当前区间的左端点a_i > 已选的最后一个点，则选择该区间的右端点b_i作为新选点，count++；
   4. 遍历结束后，count即为最少选点数量。

2. 贪心选择性证明
   贪心选择性指：局部最优选择能导致全局最优解，证明如下：
   1. 设最优解为S，第一个选点为x，按策略选的第一个点为b_1（第一个区间的右端点）。
   由于所有区间按b_i排序，b_1是第一个区间的最小右端点，x \geq b_1；
   2. 若x = b_1，则策略的第一个选择与最优解一致；
   若x > b_1，将S中的x替换为b_1，新的点集S'仍能覆盖所有区间（因b_1 \in [a_1, b_1]，且后续区间的b_i \geq b_1，原被x覆盖的区间仍会被b_1覆盖），即S'也是最优解；
   3. 以此类推，每一步选择区间右端点的局部最优操作，最终能得到全局最优的选点集合。

3. 时间复杂度分析
   1. 排序阶段：对n个区间按右端点排序，使用快速排序/归并排序的时间复杂度为O(n\log n)；
   2. 遍历阶段：遍历n个区间做判断和选点，时间复杂度为O(n)；
   3. 总时间复杂度：O(n\log n) + O(n) = \boldsymbol{O(n\log n)}，排序是算法的时间瓶颈。