第五次作业

一、问题背景

机器由n个部件组成，每个部件可从m个供应商采购。设wᵢⱼ为第i个部件从第j个供应商采购的重量，cᵢⱼ为对应成本。要求在总采购成本不超过上限C的前提下，找到总重量最小的采购方案。

二、回溯法拆解问题

回溯法的核心是“结构化遍历解空间+剪枝优化”，我们从解空间、解空间树、节点状态三个核心维度拆解问题。

1 解空间

每个解对应长度为n的向量X=(x₁,x₂,...,xₙ)，其中xᵢ∈{1,2,...,m}，表示第i个部件的供应商选择。原始解空间大小为mⁿ（每个部件m种选择），而可行解空间是满足“总采购成本≤C”的向量集合，我们的目标是从可行解中找总重量最小的解。

2 解空间树

解空间树是一棵完全m叉树，用于可视化遍历过程：

-层次：共n+1层，第0层为根节点（搜索起点），第k层（1≤k≤n）对应第k个部件的供应商选择决策；

-分支：每个非叶子节点有m个分支，对应m个供应商选项；

-叶子节点：第n层节点为完整解，总数为mⁿ，对应所有可能的采购方案。

回溯法按“深度优先”遍历该树，优先走通一条分支到底，再回溯尝试其他分支。

3 节点状态值

遍历过程中，每个节点需记录3类核心状态，用于剪枝和计算目标值：

1. 决策层次k：已处理的部件数，k=n时到达完整解；

2. 当前累计成本curr_cost：前k个部件的总采购成本，若curr_cost>C，直接剪枝（违反成本约束）；

3. 当前累计重量curr_weight：前k个部件的总重量，到达叶子节点时，该值即为当前方案的总重量，用于更新最优解。

三、回溯算法核心理解

回溯法本质是“深度优先搜索+剪枝优化”的试错策略：逐步构建解方案，发现当前方案不可行或无法导出最优解时，立即回退到上一步尝试其他方案，避免无效搜索。

1 核心特征

结构化遍历：将所有解组织为解空间树，节点对应中间状态，叶子对应完整解；

剪枝优化：通过约束剪枝（如成本超支）和界剪枝（当前重量≥已知最优重量）减少搜索量，是回溯法优于纯暴力搜索的关键；

回溯恢复：遍历完一个分支后，撤销当前选择、恢复状态，确保后续搜索的正确性。

2 适用场景与复杂度

适用于解空间大但可剪枝的组合优化问题（如0-1背包、TSP）、排列组合问题（全排列、子集生成）等。

复杂度：最坏情况O(mⁿ)（遍历所有叶子），有效剪枝可大幅降低实际复杂度；空间复杂度O(n)，主要消耗在递归栈和状态存储。

3 与其他算法的区别

贪心算法：贪心“局部最优一步到位”无回溯，仅适用于特定问题；回溯“全局试错”适用范围更广，但效率较低；

动态规划：动态规划靠存储子问题最优解避免重复计算，适用于重叠子问题；回溯靠剪枝减少搜索，空间消耗更低。

总结

用回溯法求解最小重量机器设计问题，核心是将采购方案转化为m叉解空间树，通过记录累计成本、重量等状态实现深度优先遍历与剪枝，最终找到满足成本约束的最小重量方案。回溯法的核心价值在于“结构化搜索+剪枝优化”，平衡了暴力搜索的全面性和效率，是解决组合优化问题的经典思路。

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