“斐波那契数列”衍生题

一、斐波那契数列

　　斐波那契数列是这样的一组数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=3，n∈N*）即大于2的部分是由前两个相加获得。

　　若要求第 N 个数的值，我们可以用递归也可以通过迭代的方式求解

1、递归

def fibonacci(n):
    if n == 1 or n == 2:
        return 1
    return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)

2、迭代

def fibonacci(n):
    dic = dict()
    dic[1] = 1
    dic[2] = 2
    for i in range(2, n+1):
        dic[i] = dic[i-1] + dic[i-2]
    return dic[n]

二、衍生题

　1、跳台阶 / 爬楼梯

 

　　一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。

　　想象一下，我们从最顶层的台阶开始算起，在最顶层，能够用一次走完的，可能最后只剩一个台阶，也可能只剩两个台阶。然后除去最顶层这一个或者两个台阶，剩下的也是这样，一直循环下去，是不是最后就到了底层？也就是方式不断地往上加，类似斐波那契数列。

　　说得可能有点乱，我们通过数学归纳法验证一下：一个台阶，跳一次；两个台阶，可以跳一次，也可以分两阶跳，总共两种；三个台阶，有三种方式；四个台阶，有五种......这样看是不是就是斐波那契数列。那么通过编程地方式，参照上面地代码。

　2、跳台阶II

　　一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

　　这道题跟上一道题地不同就在于没有了一次跳多少阶的条件。

　　F(1) = 1

　　F(2) = F(2-1) + F(2-2)         

　　F(3) = F(3-1) + F(3-2) + F(3-3) 

　　...

　　其中 F(n-m) 表示 n 阶一次跳 m 阶的次数。

　　F(n) = F(n-1) + F(n-2) + F(n-3) + ... + F(n-(n-1)) + F(n-n) 　　①

　　F(n-1) = F(n-2) + F(n-3) + ... + F(n-(n-1)) + F(n-n)　　　　　 ②

　　① - ② 得：F(n) = 2 x F(n-1)

　　因此代码如下：

def jumpFloorII(number):
        # write code here
        if number == 0 or number == 1:
            return 1
        return jumpFloorII(number - 1) * 2

　　当作笔记，写得一般，见笑了。