2025暑假训练赛1

ABC217G

https://atcoder.jp/contests/abc217/tasks/abc217_g
有dp，直接推式子，二项式反演等多种做法。
要考虑到分组不是排列，因为每组是相等的。然而状态设计是 \(f[i]\) 表示 \(n\) 个数分为 \(i\) 组的不同的方案数，直接组合数做会使状态内包含重复状态，所以转化为排列去做，最后再乘以 \(inv[k]\) 变为组合。观察到会有空的组，而所求答案为非空组g[i]，两者关系为 \(f[i] = \sum g[k]\times C[i][i-k]\) ,这个式子可以先求f用二项式反演求g，而如果想到式子 \(g[i] = f[i] - \sum C[i][k]\times g[k]\) 就不用反演了，区别在于从答案出发还是从已有条件出发。
dp就是可递推性可以做。

ABC217F

https://atcoder.jp/contests/abc217/tasks/abc217_f
一眼区间dp，状态设计有了，但是不会转移。
感觉这类问题的思想一般是得钦定状态和转移方式，使得dp不重不漏。像这种区间括号问题，一般是钦定第一个括号左端为l（定），右端为r（动），遍历来求方案数和。
看题解做法才联想到经典括号问题，唐完了。

ABC222G

https://atcoder.jp/contests/abc222/tasks/abc222_g
看到这类问题去转化数的形式（具体看题解），可以把原问题变为求 \(10^n \equiv 1\ mod\ M'\) 的问题，这时可以根据欧拉定理 \(10^{\phi(M)} \equiv 1\ mod\ M (gcd(10, M) = 1 否则无解)\) 求出phi（M），这里求的其实是10在模M意义下的阶，答案必然是 \(\phi(m)\) 的因数。这可以反证法证明。
这题也可以使用Baby Step Giant Step（BSGS）做，还没学。

CF632F

https://codeforces.com/problemset/problem/632/F
很有意思的一个题，性质很妙，理解了蛮久。
首先要迭代推式子，把条件转化为 \(a[i][j] <= max(a[i][k1], a[k1][k2]..., a[km][j])\) 那么就知道必须不大于任意 i 到 j 路径上的最大值，可以转化为不大于 i 到 j 路径上最小的最大值，记为 B[i][j] 。然而 \(B[i][j] \geq a[i][j]\) ，故可知 \(B[i][j]=a[i][j]\)。
考虑如何求 B 数组。可以利用最小生成树的最小瓶颈路的性质。此时可以 \(O(nlogn)\) 用 kruskal 维护做。但是可以更优，复杂度瓶颈在于求出最小生成树以后要求 B[i][j], 假设 x 为 x，y 中深度较大的点，他们合法当且仅当 \(a[x][y] = max(a[fa[x]][x], a[fa[x]][y] = B[x][y]\) 。
bonus：这题也可以 bitset 暴力卡过去。

ABC212G

https://atcoder.jp/contests/abc212/tasks/abc212_g?lang=en

CF526F

https://codeforces.com/problemset/problem/526/F