容斥原理+组合计数入门note

看课笔记：https://www.bilibili.com/video/BV1G3411h7f5/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click&vd_source=47c0221101e188411183012cce9b216c
讲的真的很好，但是我是不会去看普林斯顿数学指南的（）

核心思想：定理 -> 引理 -> 原理（通用）

枚举原理+加法原理+乘法原理

枚举基本定理：找到对应的一一映射

加法原理：集合加法

乘法原理：集合乘法（两个集合之间元素对应关系的种类数集合）

二进制计数

求长为n的正则括号序列种类数计算方法: （确定）枚举左侧第一个括号匹配的是右边哪一个括号

状态设计：f[i]表示长度为i的括号序列的种类数

\(f[i] = \sum_{j = 2}^n (f[j - 2] * f[i - j])\)

\(f[0] = 1\) (0合法）

排列计数

错位排列：

\(f[i] = (n - 1) \times (f[i - 1] + f[i - 2])\)

\(f[0] = 1\)

容斥原理（PIE）（筛法？？）

求交容易，求并难

inclusion: $(-1)^{|I| + 1} = 1, |I| = 1,3,5... $
exclusion: $(-1)^{|I| + 1} = -1, |I| = 2,4,6... $

求n个集合的并需要计算 $ 2^{n-1}$ 个项

（或许需要把问题取反）

• 回到错位排列，求不是错位排列的并：公式略。。
• 求 \(\phi (n)\) 1，2，...n 中与 n 互质的数的数量 （欧拉函数）
  不互质 ： 公因数
  由此可以推出莫比乌斯函数（妙）