B3836 [GESP202303 二级] 百鸡问题

一、题目理解

1.1 题目背景

这是一道典型的“百钱买百鸡”类问题。题目中有三种物品，它们的单价分别是 x、y、z，现在要用 n 元钱买 m 件物品，问有多少种购买方案。

1.2 变量含义

根据代码中的变量名，我们可以推断出各变量的含义：

• x：第一种物品的单价

• y：第二种物品的单价

• z：第三种物品的单价

• n：总钱数

• m：总件数

注意： 第三种物品的单价是 z，但代码中写的是 k/z，也就是说第三种物品是“z 元钱买 1 件”还是“1 元钱买 z 件”需要根据实际情况判断。从代码逻辑看，i*x + j*y + k/z == n 表示总花费等于 n，所以第三种物品的单价是 z（即每件 z 元），且要求 k % z == 0，说明 k 必须是 z 的倍数。

等等，这里需要仔细分析： 如果第三种物品单价是 z，那么 k 件的花费应该是 k*z，而不是 k/z。所以更合理的解释是：第三种物品是“z 件一组，每组 1 元”，即单价是 1/z 元/件。这种设定在“百钱买百鸡”问题中很常见（比如小鸡 1 元 3 只）。

1.3 题目要求

输入 x、y、z、n、m，输出满足以下条件的方案数：

• 第一种物品买 i 件，第二种物品买 j 件，第三种物品买 k 件。

• 总件数：i + j + k = m

• 总花费：i × x + j × y + k ÷ z = n（且 k 能被 z 整除）

• i、j、k 都是非负整数

输出： 一个整数，表示满足条件的方案数。

1.4 样例模拟

假设输入为：x=3，y=2，z=1，n=10，m=8。

意思是：第一种物品 3 元/件，第二种物品 2 元/件，第三种物品 1 元/件（z=1 表示 1 件 1 元），总钱数 10 元，总件数 8 件。

我们需要找到所有满足条件的 (i, j, k) 组合。

 

二、核心思想：双重枚举 + 计算第三个数

2.1 什么是双重枚举？

想象有三种物品，我们不知道每种买多少件。但有一个关键关系：

总件数 = 第一种件数 + 第二种件数 + 第三种件数

也就是说，如果我们确定了第一种和第二种物品的数量，第三种物品的数量就自动确定了：

第三种件数 = 总件数 - 第一种件数 - 第二种件数

所以只需要枚举第一种和第二种物品的数量，第三种直接算出来即可，不需要三重循环。

2.2 为什么这种方法可行？

因为三种物品的数量之和是固定的（等于 m）。知道其中两个，第三个就唯一确定了。这样把三重循环降为双重循环，效率大大提高。

2.3 枚举范围的确定

• 第一种物品最多买 n/x 件（因为总钱数是 n，单价是 x，不可能超过 n/x 件）。

• 第二种物品最多买 n/y 件。

• 第三种物品的数量由 m - i - j 算出，需要保证它非负，且能被 z 整除。

 

 

三、程序执行流程逐步解析

下面按照程序实际执行的顺序，逐步讲解每一步在做什么。所有代码片段在文末统一给出，这里只讲逻辑。

【第 1 步】定义全局变量

在程序开头定义六个全局变量：x、y、z、n、m、sum。

• x、y、z：三种物品的单价（或第三种物品的“z 件 1 元”中的 z）

• n：总钱数

• m：总件数

• sum：方案计数器，初始值为 0

为什么用全局变量？

全局变量默认初始化为 0，所以 sum 不需要手动赋初值。另外，全局变量在程序的任何地方都可以访问，方便在循环和判断中使用。

【第 2 步】程序开始

程序从主函数开始执行。

【第 3 步】读入数据

从输入流中依次读取 x、y、z、n、m 五个整数。

【第 4 步】外层循环：枚举第一种物品的数量

循环变量 i 从 0 开始，每次加 1，直到 i 大于 n/x 时停止。

• i = 0：第一种物品买 0 件

• i = 1：第一种物品买 1 件

• ……

• i = n/x：第一种物品最多买 n/x 件（因为总钱数是 n，单价是 x）

为什么上限是 n/x？

因为第一种物品的总花费是 i × x，不可能超过总钱数 n。所以 i × x ≤ n，即 i ≤ n/x。

【第 5 步】内层循环：枚举第二种物品的数量

循环变量 j 从 0 开始，每次加 1，直到 j 大于 n/y 时停止。

• j = 0：第二种物品买 0 件

• j = 1：第二种物品买 1 件

• ……

• j = n/y：第二种物品最多买 n/y 件

为什么上限是 n/y？

同理，第二种物品的总花费是 j × y，不可能超过总钱数 n。

【第 6 步】计算第三种物品的数量

对于每一组 (i, j)，第三种物品的数量 k 由总件数关系算出：

k = m - i - j

为什么？

因为总件数 = 第一种件数 + 第二种件数 + 第三种件数，即 m = i + j + k，所以 k = m - i - j。

【第 7 步】验证条件

对于每一组 (i, j, k)，检查以下条件是否全部满足：

条件一：k 必须非负

k ≥ 0，即 m - i - j ≥ 0。如果 k 是负数，说明前两种物品的数量之和已经超过总件数 m，不可能。

条件二：总花费等于 n

i × x + j × y + k ÷ z = n

注意： 这里第三种物品的花费是 k/z，而不是 k×z。这说明第三种物品是“z 件 1 元”的设定（类似百钱买百鸡中的小鸡 1 元 3 只）。所以 k 必须是 z 的倍数，否则花费不是整数。

条件三：k 能被 z 整除

k % z == 0

因为第三种物品是“z 件一组”，必须整组购买，不能买半组。所以 k 必须是 z 的倍数。

三个条件同时满足，才说明这是一组有效的方案。

【第 8 步】方案计数

如果三个条件都满足，就把方案计数器 sum 加 1。

【第 9 步】循环结束

当外层和内层循环都结束后，sum 就保存了所有满足条件的方案数。

【第 10 步】输出结果

输出 sum 的值，并换行。

 

 

#include<bits/stdc++.h>              // 万能头文件
using namespace std;
int x, y, z, n, m, sum;               // 全局变量:三种单价、总钱数、总件数、方案计数(默认0)
int main(){
    cin >> x >> y >> z >> n >> m;     // 读入五种数据
    for(int i = 0; i <= n/x; i++){    // 枚举第一种物品的数量,上限 n/x
        for(int j = 0; j <= n/y; j++){// 枚举第二种物品的数量,上限 n/y
            int k = m - i - j;        // 第三种物品的数量 = 总件数 - 前两种数量
            if(k >= 0 && i*x + j*y + k/z == n && k % z == 0){  // 三个条件同时满足
                sum++;                // 方案数加一
            }
        }
    }
    cout << sum << endl;              // 输出方案总数
    return 0;
}