数论学习(2019.4.4 - 2019.4.7) --4.5

今天钟长者讲课吖qqqq

一、质数

有一个定理: 设p为质数，若p | ab ,则 p | a或者p | b；

二、整数唯一分解定理

这个证明是用的反证法：

1.存在性

设立N为不满足条件的最小的数

若N为质数显然不成立

若N为合数由于N = an 则n也不能分解因此不成立

2.唯一性

设N为不可以被整除的最小的数

若N为质数因为N = N^1 显然不成立

若N为合数 N = P * N / P 因为N为最小的，而 N / P却更小，因此不成立

证毕

三、Miller_Rabin素性测试

如果N为素数，取a < n;

设n - 1 = d * 2 ^ r

则下列两个结论中必定满足一个：

先贴代码吧：

其中定义的gg[]数组就是8个素数

证明：

我们使用平方差公式，运用欧拉定理进行证明：

(手写qwq)

(像素好低啊q)

三、筛法

埃氏筛，欧拉筛昨天讲了，代码也放在昨天了，今天就不再提起了

四、最大公因数

欧几里得算法的核心思想：

gcd(a,b) = gcd(b,a - b)

推导得出： gcd(a,b) = gcd(a,a % b)

证明：

反证法:

五、裴蜀定理

还有，解释了一下充要条件qqq

证明过程：

这里可以用裴蜀定理证明这个定理: 设p为质数，若p | ab ,则 p | a或者p | b；

六、拓展欧几里得

求 ax + by = gcd(a,b)的一组解(x,y)

推导式：

将 a % b 改写为 a - a / b * b

Code:

七、中国剩余定理:

正经做法：

证明过程：

这个题做法即为两两合并

对于k个方程

则进行k - 1次合并

举个栗子：

邪门做法(大数翻倍法)：

我们一直对于两个方程式中

不断地将x += p1

直到满足第二个式子

然后对于这个进行排序，选取较大的数

则可得其时间复杂度为: O(p1 + p2 + ... +pn - max(p1,p2,...,pn));

被卡的情况：两个10 ^ 9的p的时候

八、BSGS算法 (Baby Step Giant Step)

qwq(北上广深)(拔山盖世)算法

这个问题主要是求给定

将其分为 sqrt(m) * sqrt(m)的形式

还有一个排序的步骤，便于二分

然后询问在第一行中有没有数可以使得r = b * a ^ -sqrt(m)

Code：

#define ll long long
int size;
bool erfen(int x)
{
    int l = 0;
    int r = size;
    while(l + 1 != r)
    {
        int m = (l + r) >> 1;
        if(z[m] >= x)
        r = m;
        else
        l = m;
    }
    return z[r] == x;
}
int kuaisumi(int base,int b,int p)
{
    int ans;
    while(b)
    {
        if(b & 1)
        ans *= base;
        base *= base;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}
int bsgs(int a,int b,int p)
{
    size = sqrt(p);
    int nowv = 1;
    for(int i=1;i<=size;i++)
    {
        nowv = (ll)nowv * a % p;
        z[i] = nowv;
        if(z[i] == b)
        return i;
    }
    sort(z + 1,z + size + 1);
    for(int i=2;(i-1)*size+1<=p;i++)
    {
        int y =(ll)b * kuaisumi(kuaisumi(a,size * (i - 1),p),p - 2,p);
        if(erfen(y))
        {
            for(int j=(i-1)*size+1;j<=i*size;j++)
            if(kuaisumi(a,j,p) == b)
            return j;
        }
    }
    return -1;
}

九、线性求逆元

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,p,m,k,r,x;
ll inv[20000528];
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&p);
    inv[1]=1;
    if(n<=1)
    printf("1\n");
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        inv[i]=p-(p/i)*inv[p%i]%p;
        printf("%lld\n",inv[i]);
    }
    return 0;
}

九、积性函数

定义:

若gcd(x,y) = 1,有f(xy) = f(x) * f(y)

常见的积性函数：

欧拉函数为积性函数的证明(因子数目与因子之和的大同小异)

莫比乌斯函数：

mu[i]

对于 i 将其分解(唯一分解定理) 为 p1 ^ r1 ...... pn ^ rn

设 r = max(r1,r2,...,rn);

设 k = r1 + r2 +...+ rn;

则:

mu[i] = 1                       i == 1 的时候
mu[i] = 0                       r > 1 的时候
mu[i] = (-1) ^ k             r == 1 的时候

Code：

这其中;

phi[] 欧拉函数

mu[] 莫比乌斯函数

线性筛求积性函数

莫比乌斯是积性函数的证明：(这个要用到组合数，长者说明天再讲的)

留个坑，有时间再补吧

十、莫比乌斯反演

F(n)和f(n)是定义在非负整数集合上的两个函数：

证明：

十一、数论函数的卷积

qqq

还有一些老师发的Code：

Miller_Rabin

int gg[8] = {2,3,5,7,13,29,37,89};

bool miller_rabin(int a,int n)
{
    int d=n-1,r=0;
    while (d%2==0)
        d/=2,r++;
    int x = kuaisumi(a,d,n);
    if (x==1) return true;
    for (int i=0;i<r;i++)
    {
        if (x==n-1) return true;
        x=(long long)x*x%n;
    }
    return false;
}

bool is_prime(int n)
{
    if (n<=1) return false;
    for (int a=0;a<8;a++)
        if (n==gg[a]) return true;
    for (int a=0;a<8;a++)
        if (!miller_rabin(gg[a],n)) return false;
    return true;
}

线性筛积性函数中的欧拉函数和莫比乌斯函数

memset(not_prime,0,sizeof(not_prime));

for (int i=2;i<=n;i++)
{
    if (!not_prime[i]) 
    {
        prime[++ prime_cnt] = i;
        phi[i] = i-1;
        mu[i] = -1;
    }
    for (int j=1;j<=prime_cnt;j++)
    {
        int x = i * prime[j];
        if (x>n) break;
        
        not_prime[x] = true;
        phi[x] = phi[i] * phi[prime[j]];
        mu[x] = mu[i] * mu[prime[j]];
        
        if (i % prime[j] == 0) 
        {
            phi[x] = phi[i] * prime[j];
            mu[x] = 0;
            break;
        }
    }
}

posted @ 2019-04-05 21:08 6954717 阅读(307) 评论(0) 收藏举报

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