杂题记录
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agc001_d
题目描述
有两个正整数序列\(a\)和\(b\)组成的，它们满足以下所有性质：
-
\(a\) 中所有元素之和为 \(N\)
-
\(b\) 中所有元素之和为 \(N\)
-
任何长度为 \(N\) 且满足以下条件(1)和(2)的字符串 \(S\) ，必然同时满足条件(3)：
-
(1) 由前 \(a_1\) 个字母、接下来的 \(a_2\) 个字母、再接下来的 \(a_3\) 个字母……构成的每个子串都是回文串
-
(2) 由前 \(b_1\) 个字母、接下来的 \(b_2\) 个字母、再接下来的 \(b_3\) 个字母……构成的每个子串都是回文串
-
(3) 所有 \(N\) 个字母完全相同，即 \(S_1=S_2=\dots=S_N\)
-
我们只知道打乱序列 \(a\) 之后的另一个序列 \(A\) 。
现在需要你构造出一组满足上述性质的 \(a\) 和 \(b\) 。
\(1\le N\le 10^5,1\le M\le 100,1\le A_i\le 10^5\)
Generated by DS.
题目解法
每给出的一个回文信息 \(a_i\) 相当于给原序列连了 \(\lfloor\frac{a_i}{2}\rfloor\) 条边，这样转化后，我们发现第一个性质。
性质 1 ：这样对合法的 \(a,b\) 连边后，整张图会变成一个含有 \(N\) 个点的链或是环，同时每个合法的 \(a,b\) 与这样的环或链形成双射。
证明：感性理解，因为连边代表的是建立相等关系，而全部点相等的充要条件就是这个图形成了 \(N\) 个点的连通块。
很显然每组回文关系最多只能给区间内的点都加 \(1\) 的度数，仅考虑 \(a\) 那么每个点的度数最多为 \(1\) ，算上 \(b\) 则每个点的度数至多为 \(2\) ，因此它是环或链。
也就是说每个合法方案形成的图只能是环或链，这要求我们 \(a_i,b_i\) 中只能有 \(0\) 或 \(2\) 个奇数，因此如果 \(A\) 中有 \(>2\) 个奇数则可以直接判无解。
对于 \(a_i\) 为偶数的情况，我们发现可以错一位将其拉成一条链。举个例子，\(a_i=6\) 时，原边是 \((1,6),(2,5),(3,4)\) ，而新加边为 \((2,7),(3,6),(4,5)\) ，整个边就能串成两端分别为 \(1,7\) 的链。
对 \(a\) 中奇数个数分类讨论：
-
\(a\) 中没有奇数，按照上述方法直接构造，即 \(b=\{1,a_1,a_2,\cdots,a_{m-1},a_{m}-1\}\) 。
-
\(a\) 中有一个奇数，把这个奇数放在末尾，然后直接构造，即 \(b=\{1,a_1,\cdots,a_{m-1},a_m-1\}\)（诶怎么是一样的）。
-
\(a\) 中有两个奇数，把两个奇数一个放开头，一个放结尾，然后构造 \(b=\{a_1+1,a_2,\cdots,a_{m-1},a_m-1\}\) 。
注意要特判一下 \(a_m=1\) 的情况。
代码
Completed on 20250828.
P11025
题目描述
构造有 \((N+1)\times (M+1)\) 个格点的网格生成树，最小化水平或垂直切割后的最大连通块数。
\(N,M\le1000\)
Generated by DS.
题目解法
由于这是一棵生成树，要求连通块数量最小本质上就是要求割掉的边最小。
考虑构造题一般套路：计算答案下界，这棵生成树总共有 \((NM+N+M)\) 条边，我们希望无论在哪一行哪一列割掉的边数尽可能平均，因此可以算得答案下界为 \(\lceil\dfrac{NM+N+M}{N+M}\rceil=\lceil\dfrac{NM}{N+M}\rceil+1\) 。
我们优先处理掉最后的 \(+1\) ，只需要将最后一行一列连起来即可。现在只需要考虑前 \(N\times M\) 的格点的连接情况。
这里有个性质，似乎很通用：
性质 1 ：任何一个网格图，对于每个格点向下或向右连边，最后形成的一定是一棵树。
证明：瞪眼法，感性理解均不难。
这下我们可以随便连边啦。
定义每行每列连边的基准数量为 \(d=\lceil\dfrac{NM}{N+M}\rceil\) 。
然后每行的「选[↓]区间」随行数增加往右边滑动即可，最后建出来的图（\(N=4,M=3\)）如下：
o o o--o
| | |
o o--o o
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o--o o o
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o o o--o
| | |
o--o--o--o
代码
Completed on 20250828.
P11306
题目描述
维护一棵 \(n\) 个点的二叉树，每个点有权值 \(a_i\)。支持 \(m\) 次操作，每次修改一个点的权值。每次操作后，查询树中满足其子树是二叉搜索树的节点个数。
\(1 \leq n, m \leq 2 \times 10^5,0 \leq a_i, v \leq 10^9\)
Generated by DS.
题目解法
二叉搜索树太难打了，我们称满足子树为二叉搜索树的点 \(u\) 合法 。
首先可以发现，若一个点合法，则它子树中所有点都合法。对于这种东西的求法无非就是性质、容斥、标记或算影响。
这道题我们考虑性质，二叉搜索树的一大性质就是中序遍历不降。
另一个性质则很显然：一棵子树的中序遍历是整棵树中序遍历的一块连续段。
因此我们预处理出这棵树的中序遍历，记下每个点在中序遍历中的位置以及子树的 \(L,R\) 。
使用树状数组维护 \(a_i>a_{i+1}\) 的对数。
考虑修改，修改只会对祖先链上的信息有影响。同时注意到祖先链上的点是否合法是单调的，倍增跳祖先链修改即可。
代码
可以在代码里做一些有意思的区分来减少混用编号的错误，比如用 \(u,x\) 分别表示原编号和DFN编号。
Completed on 20250828.
P11014
题目描述
给定序列 \(w_1, w_2, \ldots, w_n\) ，对于每个 \(i\)（从 \(2\) 到 \(n\) ），计算期待值 \(m_i\) 为：
其中函数 \(a(x)\) 定义为 \(x\) 的不同质因子的和（即 \(a(x) = \sum_{\substack{p \mid x \\ p \text{ prime}}} p\) ，且 \(a(1) = 0\) ）。初始期待值 \(m_1\) 给定，求总和 \(\sum_{i=1}^{n} m_i\) 。
\(1 \le n \le 182376,1 \le m_1 \le 10^7,0 \le k \le 10^6,2 \le w_i \le 182376\)
Generated by DS.
题目解法
我的思路：
原式就是一个DP转移的形式，可以用李超树优化做，但问题在于分母的部分不太好拆贡献。
对于李超树，维护的是 \(kx+b\) 的形式，\(k=m_j\times?,b=?,x=?\) ，问题还是在分母。
注意到分母是 \(w_i,w_j\) 两个数的质因数的交+并，但仍然没有好的东西去维护它。
拆牛魔的贡献，直接倒一下就做完了。。。
令 \(k=\dfrac{1}{f_j},b=\dfrac{a(w_j)}{f_j},x=a(w_i)\) ，直接上李超树辅助转移即可。
代码
这题看似正常的 \(10^{-6}\) 精度，但实际上有很多取倒数的操作，实际的精度需要 \(eps\le 10^{-18}\) ，以后狠狠在这种问题上卡别人精度。
Completed on 20250828.
P4142
题目描述
给定一个 \(N \times N\) 的网格，每个格子 \((X, Y)\) 的不稳定度 \(V_{X,Y}\) 满足：若 \(X + Y\) 为奇数，则 \(V_{X,Y} \geq 0\)；若 \(X + Y\) 为偶数，则 \(V_{X,Y} = 0\)。有 \(M\) 个 L 型柱子，每个柱子覆盖三个格子（一个拐角格和两个相邻格），放置后拐角格的不稳定度降为 \(0\)。有 \(K\) 个格子已塌陷，无法放置柱子。求在放置最多 \(M\) 个柱子后，剩余不稳定度的最小值。
\(1 \le N \le 50, 0 \le M \le \left\lfloor \frac{N^2}{3} \right\rfloor, 0 \le K \le N^2, 0 \le V_{X,Y} \le 10^6\)
Generated by DS.
题目解法
题目已经提示我们要黑白染色了，我们不妨钦定 \(X+Y\) 为奇数的格子是黑色的，其余为白色的。
很显然，我们最后放的格子一定都是黑色的，否则只会占用空间而对答案没有贡献，而一个黑色的格子可以匹配上两个白色格子（L型）。
考虑再对白色格子分类，其可以按照是否在奇数列分为两类，一个黑点会从它周围的两类白色点中各取一个，不难发现这样一定可以形成L型。
再次定义在奇数列的白色点为 \(A\) 点，在偶数列的白色点为 \(B\) 点，黑色点为了统一我们叫 \(C\) 点。直接上费用流，考虑如何建图。
为了保证每个 \(C\) 点的费用只被计算一次，我们把所有 \(C'\) 类点拆开，把图分为 \(4\) 层。
-
第 \(0\rightarrow1\) 层：源点 \(S\) 向所有 \(A\) 类点连一条流量为 \(1\) ，费用为 \(0\) 的边。
-
第 \(1\rightarrow2\) 层：所有 \(A\) 类点向所有相邻的 \(C\) 类点连一条流量为 \(1\) ，费用为 \(0\) 的边。
-
第 \(2\rightarrow3\) 层：所有 \(C\) 类点向另一半 \(C'\) 类点连一条流量为 \(1\) ，费用为 \(-w\) 的边。
-
第 \(3\rightarrow4\) 层：所有 \(C'\) 类点向所有相邻的 \(B\) 类点连一条流量为 \(1\) ，费用为 \(0\) 的边。
-
第 \(4\rightarrow5\) 层：所有 \(B\) 类点向汇点 \(T\) 连一条流量为 \(1\) ，费用为 \(0\) 的边。
-
注意以上所有点均排除了删掉的点。
但是我们还不能直接跑最小费用最大流，因为我们压根不需要流量最大（也就是柱子越多不一定越好），所以跑费用流时见好就收即可。
还有注意一下求出来的是最大可以消掉的不稳定度的相反数，最后输出要用 \(sum+MCMF\) 。
代码
Completed on 20250902.
agc001_e
题目描述
给定 \(N\) 对 \((A_i,B_i)\) ，求下面表达式的值．
\(1\le N\le 2\times 10^5,1\le A_i,B_i\le 2000\) ．
题目解法
单纯对原式求值是 \(O(n^2)\) 的，无法接受。
发现 \(A_i,B_i\le 2000\) ，很怪异。考虑从组合数处下手，观察到组合数形式为 \(\binom{a+b}{a}\) ，这种样子的组合数我们在求网格图上的路径走法时见过，表示从 \((0,0)\) 走到 \((a,b)\) 的方案数。
上面的东西可以通过DP进行一个 \(O(m^2)\) 的预处理，但是查询时还是得枚举 \(i,j\) 再求值，无法拆开求值。
引入人类智慧，拎出原式的组合数 \(\binom{A_i+B_i+A_j+B_j}{A_i+A_j}\) ，其表示从 \((0,0)\) 走到 \((A_i+A_j,B_i+B_j)\) 的方案数。考虑平移两个坐标，使上面的含义变为从 \((-A_i,-B_i)\) 走到 \((A_j,B_j)\) 的方案数。这么干我们就可以一开始将 \((-A_i,-B_i)\) 的方案数赋值为 \(1\) ，最后再 \((A_i,B_i)\) 收集答案并求和。
额外需要注意的是要从最后答案抠掉从 \((-A_i,-B_i)\) 走到 \((A_i,B_i)\) 的方案数，以及 \(i,j\) 交换顺序的情况（即 \(\times\frac{1}{2}\) ）。
代码
Completed on 0902.
agc001_f
题目描述
有一个长度为 \(N\) 的排列 \(P\) 。每次操作选择一组 \(i,j\) ，满足 \(1\le i<j\le N,j-i\ge K,|P_i-P_j|=1\) ，交换 \(P_i,P_j\) 。求进行若干次操作后字典序最小的序列。
\(2\le N\le 5\times 10^5,1\le K\le N-1,1\le P_i\le N\)
题目解法
因为 \(j-i\ge K\) 的限制难以处理，先将排列 \(P\) 置换一下，令 \(Q_{P_i}=i\) ，得到排列 \(Q\) 。
此时题目限制转化为选择相邻两个数，要求 \(|Q_i-Q_{i+1}|\ge K\) 才可以交换。过程类似于冒泡排序，可以 \(O(n^2)\) 做。
这样显然过不了，考虑能否使用归并排序。假设后半部分当前的数是 \(x\) ，那么当且仅当前半部分未添加的数 \(y\) 全部满足 \(y-x\ge K\) 时才可以交换。
这里去掉绝对值符号是因为由于字典序最小的要求，使得必须要 \(y>x\) 才是最优的；否则我可以先无条件选前半部分直到 \(y>x\) 成立。
该做法正确性证明：对于本题归并做法正确性的证明以及一个可能的误区
需要注意该题的另一种做法是
代码
Completed on 0903.
P2177/P4330
题目描述
给定一个 \(N\times M\) 的 \(01\) 矩阵，求最大的正方形子矩阵边长满足该子矩阵旋转 \(180\degree\) 后仍为自身。
\(0< N,M \le 300\)
题目解法
二维哈希，知道有这么个东西就行，这个自己推起来还是很简单的。
注意行和列的 \(B\) 要取不同的值，不然正确率会大打折扣。
代码
P2177：R234170409
P4330：R234170435
两份代码实际上没有区别。
Completed on 0903.
P7639
题目描述
给定 \(N,M,K\) ，你需要在 \(N\times M\) 个方格中划分出若干矩形，要求每个矩形至少有一条边贴住大矩形边框，同时定义 \(a\times b\) 矩形的代价为 \((a\times b-K)^2\) ，一种划分方案的代价为其中所有矩形的代价和。求出划分这个矩形的最小代价。
\(1\le N,M\le 300,1\le K\le 10000\)
题目解法
前置题目：P4160
类似的思路进行搜索，但需要额外记录当前矩形哪些边贴在边框上，然后上个记忆化搜索即可。
注意到一个矩形怎么旋转、翻转答案都不会变，随便考虑其中的几种情况剪个枝就能过。
进行一个枝的剪（？
代码
Completed on 0909.
8227
题目描述
题目解法
代码
Completed on
ProblemID
题目描述
题目解法
代码
Completed on
浙公网安备 33010602011771号