P2447 [SDOI2010]外星千足虫 (高斯消元)

题目

P2447 [SDOI2010]外星千足虫

解析

sol写到自闭，用文字描述描述了半个小时没描述出来，果然还是要好好学语文
用高斯消元求解异或方程组。
因为

• \(奇数\bigoplus奇数=偶数\)
• \(偶数\bigoplus偶数=偶数\)
• \(奇数\bigoplus偶数=奇数\)

\(0\)为偶数，\(1\)为奇数，

• \((奇数+奇数)\mod 2=0\)
• \((偶数+偶数)\mod 2=0\)
• \((奇数+偶数)\mod 2=1\)

若把第一个里面的奇偶数分别换成\(1\)和\(0\)，则对于\((x_1+x_2)\bmod 2\)的操作，可以看做异或操作(\(x_1\bigoplus x_2\))。

易证，\((x_1+x_2+x_3+···+x_n)\mod 2 = x_1\bigoplus x_2\bigoplus x_3 \bigoplus ···\bigoplus x_n\)。

对于主元所在的列，我们只让主元行上的数为\(1\)，其余的为\(0\)，于是我们让每一行与当前主元行比较，若某一行的这个数为\(1\)，就让这一行异或主元行。
因为我们之前处理当前主元行以上的内容时，把除了当时主元行上的所有当时主元所在列上的数都异或成了\(0\)，所以我们当前主元行主元之前的数都为0，根据异或的性质，发现当前主元行前面的\(0\)对之前处理的行没有影响，这样更新到最后，我们会得到一个单位矩阵，
其实手动一模拟就出来了。。
如$$\begin{bmatrix}
0&1&1&\mid&1\
1&0&1&\mid&0\
0&0&1&\mid&1
\end{bmatrix}
\to\begin{bmatrix}
1&0&1&\mid&0\
0&1&1&\mid&1\
0&0&1&\mid&1
\end{bmatrix}
\to\begin{bmatrix}
1&0&0&\mid&1\
0&1&0&\mid&0\
0&0&1&\mid&1
\end{bmatrix}\$$
于是就得到了答案。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2010; 
bitset<N> a[N];
char s[N];
int n, m, ans;

template<class T>inline void read(T &x) {
	x = 0;int f = 0;char ch = getchar();
	while(!isdigit(ch)) f |= (ch == '-'),ch = getchar();
	while(isdigit(ch)) x = x * 10 + ch -'0',ch = getchar();
	x = f ? -x : x;
	return ;
}


void Gauss() {
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		int k = i;
		while (!a[k][i] && k <= m) k++;
		if (k == m + 1) {
			ans = -1;
			return;
		}
		ans = max(ans, k);
		if (k != i) swap(a[k], a[i]);
		for (int j = 1; j <= m; ++j)
			if (j != i && a[j][i]) a[j] ^= a[i];
	}
	return;
}

int main() {
	read(n), read(m);
	for (int i = 1, x; i <= m; ++i) {
		scanf("%s", s);
		for (int j = 0; j < n; ++j) a[i][j + 1] = s[j] - '0';
		read(x);
		a[i][n + 1] = x;
	}
	Gauss();
	if (ans == -1) printf("Cannot Determine\n");
	else {
		printf("%d\n", ans);
		for (int i = 1; i <= n; ++i)	
			printf(a[i][n + 1] == 1 ? "?y7M#\n" : "Earth\n");
	}
	return 0;
}