最小表示法

用途

给一个首尾相连的字符串，找一个位置，从这个位置往后形成一个字符串，使字符串的字典序最小

算法

定义三个指针\(i=0\),\(j=1\),\(k=0\)，\(i\)和\(j\)是当前判断的位置，\(k\)是相同的串的长度，表示\(str[i...i+k]\)和\(str[j...j+k]\)相同。
当\(str[i+k]==str[j+k]\)时，显然，\(k++\)。
当\(str[i+k] > str[j+k]\)时，发现\(i+k\)位置的字典序要比\(j+k\)位置的字典序大，显然，\(str[j...j+k]\)的比\(str[i...i+k]\)的更优，字典序更小，那\(i\)位置就不能做开头了，必须要往后走，这时\(i=i+k+1\)。
当\(str[i+k] < str[j+k]\)，\(j=j+k+1\)。
很显然的是\(i\)不能等于\(j\)，所以当\(i==j\)时，\(j(或i)++\)
最后\(i\)和\(j\)中较小的那一个就是要找的字符串开始的位置

模板

工艺

/*
最小表示法 
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int n, m;
int a[N];
template<class T>inline void read(T &x) {
	x = 0; int f = 0; char ch = getchar();
	while (!isdigit(ch)) f |= (ch == '-'), ch = getchar();
	while (isdigit(ch)) x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar();
	x = f ? -x : x;
	return ;
}

int Min() {
	int i = 0, j = 1, k = 0;
	while (i < n && j < n && k < n) {
		if (a[(i + k) % n] == a[(j + k) % n]) k++;              //相等k往后移
		else {
			if (a[(i + k) % n] > a[(j + k) % n]) i += k + 1;    //如上文，i的字典序比j的大
			else j += k + 1;                                    //i的字典序比j的小
			if (i == j) j++;                                    //i不能等于j
			k = 0;                                              //k置0
		}
	}
	return min(i, j);
}

int main() {
	read(n);
	for (int i = 0; i < n; ++i) read(a[i]);
	int ans = Min();
	for (int i = 0; i < n; ++i) printf("%d ", a[(i + ans) % n]);
	return 0;
}

poj1509 Glass Beads

/*
最小表示法 
*/
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int t, n;
char s[N];

int Min() {
	int i = 0, j = 1, k = 0;
	while (i < n && j < n && k < n) {
		if (s[(i + k) % n] == s[(j + k) % n]) k++;
		else {
			if (s[(i + k) % n] > s[(j + k) % n]) i += k + 1;
			else j += k + 1;
			if (i == j) j++;
			k = 0;
		}
	}
	return min(i, j);
}

int main() {
	cin >> t;
	while (t--) {
		memset(s, 0, sizeof(s));
		cin >> s;
		n = strlen(s);
		printf("%d\n", Min() + 1);
	}		
	return 0;
}

简单小证明

为什么是\(i=i+k+1\)呢，我们任取区间\([1,k]\)之间的一个数\(k'\)，因为\(str[i+k]>str[j+k]\)，所以\(k'\)不论取何值，我们发现\(str[j+k'...j+k]\)总是比\(str[i+k'...i+k]\)优，所以\(i+k'\)不能做开头，因为\(k'\)可以取到\(k\)，所以\(i+k\)不能做开头，所以\(i=i+k+1\)。