CF1093G Multidimensional Queries

题意

在 \(k\) 维空间中，处理 \(q\) 个如下两种类型的操作：

• \(1\ i\ b_1\ b_2\ \dots\ b_k\) —— 将第 \(i\) 个点的坐标设为 \((b_1, b_2, \dots, b_k)\)；
• \(2\ l\ r\) —— 查询区间 \([l, r]\) 内任意两点 \(a_i\) 和 \(a_j\) 之间的最大曼哈顿距离（\(l \leq i, j \leq r\)）。

\(1 \leq n,q \leq 2 \times 10^5\)，\(1 \leq k \leq 5\)，\(-10^6 \leq b_{i,j} \leq 10^6\)

题解

观察到 \(k\) 很小，暴力将曼哈顿距离中的绝对值拆开。

定义 \(f[i][x]\) 第 \(i\) 个数状态为 \(x\) 时的和。

状态定义为对于 \(x\) 二进制下的第 \(i\) 位，则其系数取正，否则取负。

容易观察到最终答案就是 \(\max \{f_1+f_{30},f_2+f_{29},......\}\)

开 \(32\) 个线段树即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ls (p<<1)
#define rs (p<<1|1)
#define mid (l+r>>1)
// #define int long long
using namespace std;
const int Maxn=2e5+10;
int n,q,k;
struct status
{
    int a[32];
    status() {memset(a,0xcf,sizeof(a));}
    void operator =(const vector<int> &x)
    {
        for(int i=0;i<(1<<k);i++)
        {
            a[i]=0;
            for(int j=0;j<k;j++)
            {
                if(i&(1<<j)) a[i]+=x[j];
                else a[i]-=x[j];
            }
        }
    }
};
status f[4*Maxn];
status operator+(status x,status y)
{
    status re;
    for(int i=0;i<(1<<k);i++) re.a[i]=max(x.a[i],y.a[i]);
    return re;
}
void push_up(int p) {f[p]=f[ls]+f[rs];}
void change(int p,int l,int r,int tar,vector<int>x)
{
    if(l==r) return f[p]=x,void();
    if(tar<=mid) change(ls,l,mid,tar,x);
    else change(rs,mid+1,r,tar,x);
    push_up(p);
}
status query(int p,int l,int r,int tl,int tr)
{
    if(tl<=l && tr>=r) return f[p];
    if(tr<=mid) return query(ls,l,mid,tl,tr);
    if(tl>mid) return query(rs,mid+1,r,tl,tr);
    return query(ls,l,mid,tl,tr)+query(rs,mid+1,r,tl,tr);
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin>>n>>k;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        vector<int>v;
        for(int j=1;j<=k;j++)
        {
            int x; cin>>x;
            v.push_back(x);
        }
        change(1,1,n,i,v);
    }
    cin>>q;
    while(q--)
    {
        int opt;
        cin>>opt;
        if(opt==1)
        {
            int p;
            cin>>p;
            vector<int>v;
            for(int i=1;i<=k;i++)
            {
                int x;cin>>x;
                v.push_back(x);
            }
            change(1,1,n,p,v);
        }
        else
        {
            int l,r;
            cin>>l>>r;
            status re=query(1,1,n,l,r);
            int ans=0;
            for(int i=0;i<(1<<k);i++) ans=max(ans,re.a[i]+re.a[(1<<k)-i-1]);
            cout<<ans<<endl;
        }
    }
    return 0;
}