读数据可视化16大规模多变量空间数据(下)

1. 空间张量场数据可视化

1.1. 张量是矢量的推广：标量可看作0阶张量，向量可看作1阶张量

1.2. 在部分科学计算领域，张量场是一类重要的场数据

• 1.2.1. 张量场被广泛用于数学、物理和工程领域，如微分几何、基础物理、光学、固体机械学、流体动力学、环境工程、航空航天和弥散张量成像等

1.3. 张量场的数学理论是数学界的研究热点，逐步在图形和可视化领域得到应用

1.4. 张量计算，如张量的导数、张量的分解和张量之间的距离

1.5. 张量场不变量的计算，如张量形状、轨迹、各向异性分数值、张量场模式等

1.6. 张量场结构计算，如张量场分割，张量场的峰、谷和裂缝，以及基于动力系统理论的拉格朗日连贯结构计算等

1.7. 基于几何的方法显式地生成刻画某类张量场属性的几何表达

1.8. 基于纹理的方法将张量场转换为一张或动态演化的图像（纹理）​，图释张量场的全局属性

• 1.8.1. 核心思路是将张量场简化为向量场，进而采用线积分法、点噪声等方法显示

1.9. 基于拓扑的方法计算张量场的拓扑特征（如关键点、奇点、灭点、分叉点和退化线等）​，依此将感兴趣区域剖分为具有相同属性的子区域，并建立对应的图结构，实现拓扑简化、拓扑跟踪和拓扑显示

1.10. 张量场可视化的两类典型案例是弥散加权核磁共振成像和流体力学计算

1.11. 张量场的数学描述

• 1.11.1. 张量是一个定义在向量空间和对偶空间的笛卡尔积上的多线性函数，其坐标是 n维空间，有nr个分量，其中每个分量都是坐标的函数

• 1.11.2. 弥散

• 1.11.2.1. 二阶对称张量场实例

• 1.11.2.2. Diffusion

• 1.11.2.3. 在医学上，弥散指分子的随机不规则运动，是体内的物质运转方式之一，又称布朗运动（Brownian Motion）​。

• 1.11.2.4. 弥散是一个物理过程，其原始动力为分子所具有的热能

• 1.11.2.5. 弥散是一个三维过程，分子沿空间某一方向弥散的距离相等或不相等

• 1.11.2.6. 一种是指在完全均匀的介质中，分子的运动由于没有障碍，向各个方向运动的概率相同，称为各向同性（Isotropic）弥散

• 1.11.2.7. 另一种弥散具有方向依赖性，在按一定方向排列的组织中，分子向各个方向弥散的概率不相同，则称为各向异性（Anisotropic）弥散

1.12. 基于几何的方法

• 1.12.1. 图标法

• 1.12.1.1. 采样张量场，选取一些有代表性的采样点

• 1.12.1.2. 遍历每个采样位置，根据张量信息选取合适的几何表达方法，构建张量图标

• 1.12.1.3. 立方体和圆柱体图元可清晰地揭示张量的主特征方向

• 1.12.2. 纤维追踪法

• 1.12.2.1. 将张量场转化、简化为向量场，进而借鉴向量场的可视化方法，如流线法等，呈现张量场数据的某方面特征

1.13. 基于纹理的方法

• 1.13.1. 直接体可视化

• 1.13.1.1. 对原始张量场数据集进行噪声过滤后，可选取其部分属性作为直接体可视化的域变量

• 1.13.2. 线积分卷积

• 1.13.2.1. 将二阶张量场视为一个连续场，并基于张量的特征向量、特征值等度量对其进行可视化

• 1.13.3. 基于噪声纹理的方法

• 1.13.3.1. 生成具有一定位置和强度分布的点集，如不同位置分布、不同强度分布和各向同性滤波​，作为噪声纹理输入，然后根据张量场的特征向量，采用类似于线积分卷积的形式，对噪声纹理进行滤波生成图像，滤波后的纹理图像中的条纹方向反映出张量场的特征方向趋势

1.14. 基于拓扑的方法

• 1.14.1. 是向量场可视化中的拓扑方法在张量的特征向量场上的一种扩展

• 1.14.2. 张量不变量法

• 1.14.2.1. Tensor Invariants​

• 1.14.2.2. 采用一个与张量形状相关的标量场描述目标张量场，称为张量不变量

• 1.14.2.3. 常用的不变量有张量的迹（Trace）​、部分各向异性和张量的模（Mode）

• 1.14.3. 拉格朗日分析法

• 1.14.3.1. Lagrangian Analysis​

• 1.14.3.2. 将特征向量场视为一个双向向量场，由此可以将向量可视化中采用的拉格朗日相干结构（Lagrangian Coherent Structures,LCS）的概念应用于特征向量场

• 1.14.3.3. 主要思想是量化相邻的虚拟粒子沿着特征向量场所定义的双向向量场流动的行为差异

1.15. 高阶张量场可视化

• 1.15.1. 图标法

• 1.15.1.1. 采样高阶张量场

• 1.15.1.2. 对每个采样点根据当前的高阶张量构建高阶张量图标

• 1.15.2. 纤维追踪法

• 1.15.2.1. 将纤维追踪法应用于高阶张量与应用于二阶对称张量的主要区别在于对高阶张量实行张量分解可得到一个或多个方向

• 1.15.3. 纹理法

• 1.15.3.1. 将高阶张量场转化为可描述该高阶张量场物理属性的标量场，并将它视为纹理进行可视化

• 1.15.3.2. 常用的标量属性有广义部分各向异性（Generalized Fractional Anisotropy,GFA）和高阶张量的等级（Rank）

2. 多变量空间数据场可视化

2.1. 不同于传统的空间数据在每个节点上只有一个数据属性，多变量空间数据在每个节点上包含多个不同类型的数据属性：多个标量场数据、多个标量场混合多个向量场甚至张量场数据

2.2. 多变量空间数据可视化的目的是抽取和表达数据场中多个属性及其相互关系

2.3. 难点和挑战

• 2.3.1. 克服多变量、复合类型、内在结构复杂且互相交织的数据特性

• 2.3.2. 设计有效的视觉编码辅助用户同步地分析提取和表达这些信息

• 2.3.3. 观察和研究数据属性及其相互之间的关系

• 2.3.4. 发现未知的新特征和新现象

2.4. 特征表达与关联分析

• 2.4.1. 基本手段是采用特征表达和关联分析方法，抽取多变量数据场的特征，计算特征的数值、几何、拓扑等信息，并结合统计分析、信息论、数据挖掘等方法，实现变量、体素、数值、特征及其相互之间的关联分析，探索数据隐含的相似性和差异性

• 2.4.2. 特征表达与抽取

• 2.4.2.1. 任务是构建和处理多变量数据场的特征（几何、拓扑、网格结构等）​，提取可视化以及可视表达的对象，即数据属性和衍生特征、相互之间的关系以及变化趋势等

• 2.4.2.2. 轮廓树是一种抽象的拓扑表示方法，能够捕捉标量场中水平集的变化，也用于识别重要的等值面

• 2.4.3. 关联分析

• 2.4.3.1. 五种不同的表现形式：*变量间的相关性、体素间的相关性、数值间的相关性、特征间的相关性和混合相关性

• 2.4.3.2. 混合相关性*是分析变量、体素、标量和特征之间的关联性

• 2.4.4. 可视化与交互

• 2.4.4.1. 视觉通道与融合

2.4.4.1.1. 用不同的视觉通道映射和编码各个属性及其相互之间的关系和关联

2.4.4.1.2. 分别可视化各个数据场的数据属性，再进行融合

2.4.4.1.3. 图标信息和纹理信息作为强大的、可携带和编码丰富信息的表达载体，在多变量可视化技术中最为常见

2.4.4.1.4. 数据融合和混合绘制是多变量可视化的另一个重要研究方向

2.4.4.1.5. 基于数据融合和混合绘制的多变量可视化方法直接处理数据属性，可以有机结合统计分析以及特征抽取等数据处理手段进行可视分析，因而研究手段更加丰富

• 2.4.5. 交互探索

• 2.4.5.1. 多变量可视化领域的交互基本上已经形成了以多关联视图为基础、二维视图用于显示和分析属性关系、三维视图用于显示物理数据空间、使用高维传输函数和画刷及其衍生技术为特征选取技术、以焦点+上下文或其变种为数据和特征显示方法的基本框架

2.5. 多变量数据越来越复杂，数据分析越来越抽象，研究重心逐渐偏向于对数据属性之间的关系和变化趋势的分析

2.6. 无论是特征选取还是数据属性和关联分析，基于统计分析和机器学习的交互方法在近年的研究工作中所占的比重越来越大并且成为主流