03|复杂度分析(上):如何分析、统计算法的执行效率和资源消耗?

复杂度分析是整个算法学习的精髓，只要掌握了它，数据结构和算法的内容基本上就掌握了一半。

 

为什么需要复杂度分析？

1.测试结果非常依赖测试环境

测试环境中硬件的不同会对测试结果有很大的影响。

2.测试结果受数据规模的影响很大

(1)对同一个排序算法，待排序数据的有序度不一样，排序的执行时间就会有很大的差别。

(2)如果测试数据规模太小，测试结果可能无法真实地反应算法的性能。比如，对于小规模的数据排序，插入排序可能反倒会比快速排序要快！

所以，我们需要一个不用具体的测试数据来测试，就可以粗略地估计算法的执行效率的方法。这就是我们今天要讲的时间、空间复杂度分析方法。

 

大 O 复杂度表示法

算法的执行效率，粗略地讲，就是算法代码执行的时间。

所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数成正比。

# 大 O 复杂度表示法 公式:
 T(n) = O( f(n) )
 ​
 # 公式解释:
 T(n) 表示代码执行的时间；
 n 表示数据规模的大小；
 f(n) 表示每行代码执行的次数总和。
 因为这是一个公式，所以用 f(n) 来表示。公式中的 O，表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比。　

 

当 n 很大时，你可以把它想象成 10000、100000。而公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势，所以都可以忽略。我们只需要记录一个最大量级就可以了，所以，第一个例子(是一个 for 循环)中的 T(n) = O(2n+2)，第二个例子(是两个 for 循环嵌套)中的 T(n) = O(2n2+2n+3)，如果用大 O 表示法表示刚讲的那两段代码的时间复杂度，就可以记为：T(n) = O(n)； T(n) = O(n2)。

这就是大 O 时间复杂度表示法。大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度。

 

时间复杂度分析

1.只关注循环执行次数最多的一段代码

这段核心代码执行次数的 n 的量级，就是整段要分析代码的时间复杂度。

2.加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度 

# 加法法则公式：
 ​
 如果   T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；
 那么   T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n))).

3.乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

# 乘法法则公式:
 ​
 如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；
 那么 T(n)=T1(n)*T2(n)=O(f(n))*O(g(n))=O(f(n)*g(n)).

　　

几种常见时间复杂度实例分析

 

对于刚罗列的复杂度量级，我们可以粗略地分为两类，多项式量级和非多项式量级。其中，非多项式量级只有两个：O(2n) 和 O(n!)。

我们把时间复杂度为非多项式量级的算法问题叫作 NP（Non-Deterministic Polynomial，非确定多项式）问题。

当数据规模 n 越来越大时，非多项式量级算法的执行时间会急剧增加，求解问题的执行时间会无限增长。所以，非多项式时间复杂度的算法其实是非常低效的算法。因此，关于 NP 时间复杂度我就不展开讲了。我们主要来看几种常见的多项式时间复杂度。

1. O(1)

首先你必须明确一个概念，O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不是指只执行了一行代码。比如，即便有 3 行，它的时间复杂度也是 O(1），而不是 O(3)。

我稍微总结一下，只要代码的执行时间不随 n 的增大而增长，这样代码的时间复杂度我们都记作 O(1)。或者说，一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)。

2. O(logn)、O(nlogn)

我们知道，对数之间是可以互相转换的，log3n 就等于 log32 * log2n，所以 O(log3n) = O(C * log2n)，其中 C=log32 是一个常量。基于我们前面的一个理论：在采用大 O 标记复杂度的时候，可以忽略系数，即 O(Cf(n)) = O(f(n))。所以，O(log2n) 就等于 O(log3n)。因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的“底”，统一表示为 O(logn)。

那 O(nlogn) 就很容易理解了。还记得我们刚讲的乘法法则吗？如果一段代码的时间复杂度是 O(logn)，我们循环执行 n 遍，时间复杂度就是 O(nlogn) 了。

3. O(m+n)、O(m*n)

代码的复杂度由两个数据的规模来决定。

省略代码:代码一个是关于 n 的 for 循环,一个是关于 m 的 for 循环,m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大，所以我们在表示复杂度的时候，就不能简单地利用加法法则，省略掉其中一个。所以，上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。

 

空间复杂度分析

前面我讲过，时间复杂度的全称是渐进时间复杂度，表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。

类比一下，空间复杂度全称就是渐进空间复杂度（asymptotic space complexity），表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。

我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n2)，像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。而且，空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。

 

内容小结

复杂度也叫渐进复杂度，包括时间复杂度和空间复杂度，用来分析算法执行效率与数据规模之间的增长关系，可以粗略地表示，越高阶复杂度的算法，执行效率越低。常见的复杂度并不多，从低阶到高阶有：O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n2)。