Poisson分布（转载）

Poisson 分布

曹亮吉

  

 

 

 

 

二项分布是离散型机率模型中最有名的一个，其次是Poisson 分布，它可以看成为二项分布的一种极限情形。

 

假定某机关的总机在一个短时间$\triangle t$内会接到一次电话的机率p与$\triangle t$成正比：$p=\alpha\triangle t$，α为一常数。又假定在此短时间内接到多于一次电话的机率微乎其微，可以略去不计。那么在时间t内，会接到x次电话的机率分布为何？

 

我们可以把t分成n小段，每小段长为 $\triangle t=\frac{t}{n}$。整个问题可看成为：在每个$\triangle t$时间内，我们做了一次试验，其成功（接到电话）的机率为p。如此做了n次，那么成功了x次的机率为何？所以我们要的机率分布正是二项分布b ( x ; n , p )。令$\lambda = \alpha t = n\alpha\triangle t = np$，则 

 

\begin{eqnarray*} &&b(x;n,p)\\ &=&\frac{n!}{x!(nx)!}p^x(1-p)^{nx}\\ &=& \fra... ...}{n})^{-\frac{n}{\lambda}})^{-\lambda}(1-\frac{\lambda}{n})^{-x } \end{eqnarray*}

 


当t保持不变（亦即λ不变），而让 $n\rightarrow\infty$( $4t \rightarrow 0$)，则 

 

\begin{eqnarray*} && (1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots(1-\frac{x-1}{n})\right. .. ...da}}\rightarrow e \\ && (1-\frac{\lambda}{n})^{-x}\rightarrow 1 \end{eqnarray*}

 


所以

 

$b(x;n,p)\rightarrow\frac{\lambda^xe^{-\lambda}}{x!}$（以$p(x;\lambda)$表之，此处的p代表Poisson）

因为 

 

\begin{displaymath} \sum_{x=0}^{\in​​fty}p(x;\lambda)=e^{-\lambda}\sum_{x=0}^{\in​​fty}\frac{\lambda^ x}{x!}=e^{-\lambda}e^{\lambda}=1 \end{displaymath}

 

所以$p(x;\lambda)$的确是个机率分布（各种可能的机率之和等于1）。

 

这就是说，在时间t内，接到x次电话的机率为$p(x;\lambda)$。这是以λ为参数的Poisson分布，而λ（$=\alpha t$）是在时间t内所期望接到的电话数。

 

Simeon D. Poisson（1781～1840年）是一个著名的法国数学家及物理学家。到了晚年，他热衷于将数学的机率论用到司法的运作上。他在这方面的主要著作是1837年出版的《司法机率的研究》(Recherches sur la Probabilité des Jugements)。虽然这本书的主旨是要对司法运作有具体的贡献，但它包含了许多纯粹数学的、机率的理论，所以可以看成是一本以司法应用为例的机率课本，这本书德文版的书名《机率论及其重要应用》(Lehrbuch der Wathrscheinlichkeitsrechnung und deren wichtigstein Auwendungen) 看起来和内容较为一致。在这本书的数学推演中，Poisson 从二项分布的极限得到了这个日后以他为名的机率分布。

 

Poisson 虽然得到这样的机率分布，但在书中他并没有继续讨论这种分布的性质，在往后的研究中，Poisson 似乎也把它忘掉了。

 

在十九世纪的许多统计研究报告上，Poisson 这个名字经常出现，但这与Poisson 分布无关，大家所关注的是他在常态分布方面的研究。常态分布在解释理论与数据变异之间的关系非常成功，当时许多人认为常态分布是机率与统计之间唯一的桥梁了。

 

直到十九世纪末，Bortkiewicz 才注意到Poisson 分布与某些数据之间也有类似的关联。Ladislaus von Bortkiewicz（1868～1931年）是出生在俄国圣彼得堡的波兰人。他在德国Göttingen 大学得到学位（1893年），并曾在Strassburg 做过研究。在Strassburg 时，他写了一本小册子《小数法则》(Das Gesetz der Kleinen Zahlen)，专门研究Poisson 分布。他不但在理论方面推演了Poisson 分布的许多性质，并且在应用方面，也比较了一些实际发生的、有关于自杀或意外伤害的数据。Poisson 分布虽然出于Poisson 之手，但真正使它为人重视，使它成为统计学一部分的可要算是Bortkiewicz了。

 

在这本书中，Bortkiewicz 举了一个至今仍是脍炙人口的例子，说明数据契合Poisson 分布的情形。从1875到1894年的20年间，德国的十四个军团部有士兵被马踢伤因而致死的人数纪录。这20×l4 = 280个（团年）纪录，按死亡人数来分，则如表一的左二栏所示。

 

 

x =每年死亡人数 团年数 280 p ( x ;0.7)
0 144 139.0
1 91 97.3
2 32 34.1
3 11 8.0
4 2 1.4
$\geq5$ 0 0.2

在280个纪录中，死亡的人数共有196，因此致死率为 $\alpha=96/280=0.7$（人/团年）。我们就以此α为Poisson分布中的常数，t =1年，则 $\lambda=\alpha t=0.7$。理想中每团每年死亡人数x要遵行Poisson分布p ( x ;0.7)。表一中右栏就是根据这样的Poisson分布，把280团年该有x人死亡的团年数列出。它和表一的中间一栏的数据的确相当吻合。

Poisson分布既然是二项分布的极限情形，反过来Poisson分布也可以做为二项分布的近似值。譬如p =0.04 , n =49，则 $\lambda=49\times 0.04=1.96$。我们把b ( x;49,0.04)与p ( x ;1.96)之值相对照就得表二

 

x b ( x ;49,0.04) p ( x ;1.96)
0 0.135 0.141
1 0.276 0.276
2 0.276 0.270
3 0.180 0.176
4 0.086 0.086
5 0.032 0.034
6 0.010 0.011
7 0.003 0.003
8 0.001 0.001
$\vdots$ $\vdots$ $\vdots$

我们发现对应的值相当接近。一般，若用列表方式，则二项分布b ( x ; n , p )要兼顾三个变数x , n , p，而Poisson只要两个：x ,λ，所以较为方便。若直接计算，则因

 

b ( x ;49,0.04)= C x 49 (0.04) x (0.96) 49- x

 

所以二项分布算起来相当费事。另一方面$p(x;\lambda)$之值可用递回方法迅速求得：$p(x+1;\lambda)/p(x;\lambda) = \lambda/x+1$或 $p(x+1;\lambda) = \lambda p(x;\lambda)/x+1$；而 $p(0;\lambda)=e^{-1}$可由指数表中查得。因此只要情况适合，我们当然就舍二项分布而就Poisson分布了。

 

通常只要n很大，p很小，$\lambda=np$不大不小而且是个已知定数，Poisson分布就可以代替二项分布了，譬如某商店每星期进进出出的客人很多（= n），但每个客人买鱼子酱的机率很小（= p），只知道平均一星期卖出两罐：$\lambda=np=2$。那么这家商店每星期开始时应有几罐鱼子酱的库存？当然不能只有两罐，因为平均归平均，售量超过平均数的机率很大。当然库存太多也会影响整个商店的运作。根据Poisson分布p ( x ;2)，我们算得表三：

 

λ 0 1 2 3 4 5 $\geq6$
p ( x ;2) .135 .271 .271 .180 .090 .036 .017

由表三可知售量达到5 罐以上的机率只有5.3%，而达到6 罐以上则只有1.7%。所以合理的库存量为4 罐（平均19星期才会有一次缺货），如果怕万一，那么5 罐就非常保险（平均59星期才会有一次缺货）。

 

我们从另一个角度来看上面的数据。假设某工厂每做100个螺丝钉，平均会有两个不合规格，而这是合理的不合格率。根据Poisson 分布，偶而出现3 个或4 个不合规格的螺丝钉也是正常的现象。但是如果出现的频率太高，或出现5 个以上的不合规格的螺丝钉，那么生产过程就可能出了问题。Poisson 分布是品质管制的利器，它可以帮助我们决定生产过程是否出了毛病。

 

Poisson 分布还有种种的用途：放射性物质的蜕变、细胞间因受X 光照射而引起的染色体交换次数、细菌和血球的计数、交通事故数及死亡率等等莫不遵行Poisson 分布。其实，无论在自然科学、在工业、在农业、在商业、在医药、在交通、在社会或在军事上，无不可找到Poisson 分布的应用。

 

和二项分布一样，我们也可以从理论方面来探讨Poisson分布的期望值μ及散布差$\sigma^2$。由 $p(x;\lambda)=\lambda^xe^{-\lambda}/x!$，我们马上算得 

 

\begin{eqnarray*} \mu &=& \sum_{x=0}^{\in​​fty}xp(x;\lambda) = \lambda e^{\lambda... ...lambda) \\ &= & \lambda^2-(2\lambda-1)\lambda+\lambda^2=\lambda \end{eqnarray*}

 


所以Poisson 分布的确是以λ 为期望值。

 

在〈二项分布与大数法则〉（《科学月刊》第十六卷第六期）一文中，我们曾导出二项分布的Chebyshev不等式 

 

\begin{displaymath} (\vert\frac{x}{n}-\mu\vert > \epsilon \; \mbox{{\fontfamily{... ...}\selectfont \char 48} } ) \leq \frac{\sigma^2}{n^2\epsilon^2} \end{displaymath}

 

如果把二项分布换成Poisson分布或任何离散型分布，不等式也照样成立，因为在导出不等式的过程中只用到b ( x ; n , p )是种机率分布这件事，并没有用到b ( x ; n , p)之值。现在既然知道Poisson分布的$\sigma^2$（=λ）是个（与n无关的）定值，所以我们也可以得到关于Poisson分布的大数法则： 

 

\begin{displaymath} \lim_{n\rightarrow\infty}(\vert\frac{x}{n}-\lambda\vert > \e... ....1pt{\fontfamily{cwM7}\fontseries{ m}\selectfont \char 48} })=0 \end{displaymath}

 

亦即：在Poisson分布的机率模型假定之下，只要试验的次数n够大，则事件发生的次数比$\frac{x}{n}$，从机率的观点来看，就会很接近期望值λ。

来自：http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_16_07_1/index.html

posted @ 2013-01-21 16:55  busyfruit  阅读(1054)  评论(0)    收藏  举报