简单数论

二项式定理

$$(x+y{)}^k=\sum _{i=0}^k{x}^i{y}^{k-i}\times C_i^k$$

欧拉定理

如果正整数 $n$ 和整数 $a$ 互质, 那么就有
$$a^{\phi (n)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$$

扩展欧拉定理

$$a^b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m=b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\phi (m)$$

当 $\gcd (a,m)\ne 1$ 时，$a^b\equiv a^c(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$，其中 $c$ 在 $b<\phi (m)$ 时为 $b$，否则为 $b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\phi (m)+\phi (m)$

费马小定理

$p$ 为质数, $a$ 为任意自然数, 则
$$a^p\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)⟺a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$

快速幂

快速幂是对倍增思想的应用，可以以 $\log$ 级别的复杂度求 $a^k$。

若 $k$ 为偶数，则 $a^k=a^{\frac{k}{2}}\times a^{\frac{k}{2}}$。

若 $k$ 为奇数，则 $a^k=a^1\times a^{k-1}$。奇数减一为偶数。

int ksm(int a, int k, int p) {
  	int res = 1;
  	while (k) {
    	if (k & 1) res = res * a % p;
    	a = a * a % p;
    	k >>= 1;
  	}
  	return res % p;
}

当指数极大，且 $p$ 为质数时，可以降幂，步骤如下

$$a^n=a^{k\times (p-1)+r}=a{{}^{p-1}}^k\times a^r$$

根据费马小定理

$$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$

$$(a^p-1)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p=1$$

$$a^n=a^r$$

有

$$r=n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(p-1)$$

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线性筛

线性筛质数可求 $1\sim n$ 所有的质数。

对于每一个数 $i$，标记所有小于 「$i$ 的最小质因子」 的质数 $\times i$ 的数为合数。如 $i=77=7\times 11$，那么 $2\times 77,3\times 77,5\times 77$ 会标记为合数。

想证明该算法为线性且正确，只需证明没有重复筛，没有多筛，没有漏筛三点即可。其中没有重复筛显然成立。

令一个合数 $x={\prod }_{j=1}^n{p}_j\wedge p_j<p_{j+1}$。

筛掉该合数的机会为 $i=\frac{{\prod }_{j=1}^n{p}_j}{p_j}\wedge x=p_j\times \frac{{\prod }_{j=1}^n{p}_j}{p_j}$ 。因为标记所有小于 「$i$ 的最小质因子」 的质数 $\times i$ 的数为合数，所以 $j=1$。没有重复筛成立。

有 $\frac{{\prod }_{j=1}^n{p}_j}{p_1}<x$，所以 $i=\frac{{\prod }_{j=1}^n{p}_j}{p_1}$ 时将 $x$ 标记为合数。没有漏筛成立。

int pr[N + 5], vis[N + 5] = {1, 1}, n, tot;
void init() {
	for (int i = 1; i <= N; i++) {
		if (!vis[i]) pr[++tot] = i;
		for (int j = 1; j <= tot && i * pr[j] <= N; j++) {
			vis[i * pr[j]] = 1;
			if (i % pr[j] == 0) break; 
		}
	}
} 

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逆元

逆元与除法取模有关，具体的，如果 $\frac{a}{b}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m=a\times x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m$，我们把 $x$ 叫作 $b$ 在模 $m$ 意义下的逆元，记做 $b^{-1}$。有
$$b\times x\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$$

求质数逆元常见的方式是费马小定理。 如果模数 $p$ 为一个质数，而整数 $a$ 不是 $p$ 的倍数，则有
$$\begin{gathered} a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p) \\ \Updownarrow \\ {a}^{p-2}\equiv a^{-1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p) \end{gathered}$$
所以 $a$ 的逆元为 $a^{p-2}$。

如果模数 $m$ 不为质数，但 $b$ 与 $m$ 互质，那么可以用扩展欧几里得求逆元。因为扩展欧几里得可以求线性同余方程
$$\begin{gathered} b\times x\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m) \\ \Updownarrow \\ b\times x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m=1 \\ \Updownarrow \\ bx+(-my)=1 \end{gathered}$$

exgcd 求解即可。

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欧拉函数

欧拉函数的符号为 $\phi$，$\phi (n)$ 为小于等于 $n$ 与 $n$ 互质的数的个数。

对于一个质数 $p$ 和一个整数 $k$，有
$$\begin{gathered} \phi (p)=p-1 \\ \phi (p^k)=p^k-\frac{p^k}{k}=p^k-p^{k-1} \end{gathered}$$

对于一个数 $n$，将他分解质因数
$$\begin{gathered} n=\prod _{i=1}^k{p}_i^{a_i} \\ \phi (n)=\phi (\prod _{i=1}^k{p}_i^{a_i})=\prod _{i=1}^k{p_i}^{a_i}-{p_i}^{a_i-1} \\ =\prod _{i=1}^k{p_i}^{a_i}(1-\frac{1}{p_i})=n\times \prod _{i=1}^k(1-\frac{1}{p_i}) \end{gathered}$$

以上为欧拉函数的通式。

众所周知，欧拉函数为积性函数，有 $\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$，其中 $a$ 与 $b$ 互质。所以可以用线性筛的方法在求质数表的同时求欧拉函数。需要用到以下性质，其中 $p$ 为质数

1. $\phi (p)=p-1$

2. 若 $p|i$，那么 $\phi (i\times p)=\phi (i)\times p$，证明略。

3. 若 $p\nmid i$，那么 $\phi (i\times p)=\phi (i)\times (p-1)$。

略证：若 $p\nmid i$，那么 $i$ 与 $p$ 互质，根据积性函数的性质 $\phi (i\times p)=\phi (i)\times \phi (p)=\phi (i)\times (p-1)$。

int pr[N + 5], vis[N + 5] = {1, 1}, phi[N + 5], n, tot;
void init() {
	for (int i = 1; i <= N; i++) {
		if (!vis[i]) {
			pr[++tot] = i;
			phi[i] = i - 1;
		}
		for (int j = 1; j <= tot && i * pr[j] <= N; j++) {
			vis[i * pr[j]] = 1;
			if (i % pr[j] == 0) {
				phi[i * pr[j]] = phi[i] * pr[j];
				break; 	
			}
			phi[i * pr[j]] = phi[i] * (pr[j] - 1);
		}
	}
}