字符串匹配 Kmp

给定一个主串 $t$ 和模式串 $p$，求 $p$ 在 $t$ 中出现的下标。

我会暴力！

char t[N], p[N]; scanf("%s%s", t + 1, p + 1);
	for (int i = 1; i <= strlen(t + 1); i++)  { 
		bool f = 1; int k = i;
		for (int j = 1; j <= strlen(p + 1); i++, j++) 
			if (t[i] != p[j]) {
				f = 0; break;
			}
		if (f) printf("%d\n", i);
        else i = k; // 如果匹配失败，指针 i 回溯
	}

我们用指针 $i$ 指 $t$，指针 $j$ 指 $p$。在暴力中，如果匹配失败那么 $i$ 和 $j$ 都会回溯到 $1$。

比如 $t=\text{ABBABBABABAAABABAAA},p=\text{ABBABAABABAA}$。让 $p$ 去匹配 $t$

ABBABBABABAAABABAAA 	i from 1 to 6
ABBABAABABAA 			j from 1 to 6
     !

第一次匹配中，$j$ 在第六位失配，但是 $p$ 的前五位 ABBAB 匹配成功了。暴力会让 $i$ 回溯到 $2$，$j$ 回溯到 $1$，重新进行匹配。而我们要想办法减少回溯。

那么我们要利用已经匹配成功的前五位。可以发现 ABBAB 的最长公共前后缀为 AB，这意味着 $p$ 的前缀 AB，可以与 $t$ 的后缀 AB 匹配，所以把 $j$ 回溯到前缀 AB 的下一位也就是 $|\text{AB}|+1=3$。而 $t$ 中后缀 AB 的下一位为 $i$ 所以 $i$ 原地不动。

AB B AB BABABAAABABAAA i from 1 to 6
AB B AB AABABAA		   j from 1 to 6
        !
ABBABBABABAAABABAAA	   i from 6 to 10 
   ABBABAABABAA 	   j from 2 + 1 = 3 to 7
         !  

为了实现刚才的算法。我们需要预处理一个 $nxt$ 数组，$nx{t}_i$ 为 $t_{1\sim i}$ 的最长公共前后缀的长度 $+1$。我会暴力！

考虑 $t$ 匹配到了第 $i$ 位，这意味着求出了 $nx{t}_{i-1}$。如果 $t_{1,i-1}$ 的前缀后面的字符等于 $t_i$，那么 $nx{t}_i=nx{t}_{i-1}+1$。

前 i - 1 位 ABBABBA
最长公共前后缀为 A
前 i 位     ABBABBAB
前缀的下一位 = s 的第 i 位 = B
所以 nxt[i] = nxt[i - 1] + 1 = 2;

否则，考虑前缀的前缀和后缀的后缀，如果前缀的前缀的下一个字符等于 $t_i$，那么 $nx{t}_i=nx{t}_{nx{t}_{i-1}}+1$。

前 i - 1 位 ABAAABA
最长公共前后缀为 ABA
前 i 位     ABAAABAB
前缀的下一位 ≠ s 的第 i 位
前缀的前缀为 A
前缀的前缀的下一位 = s 的第 i 位 = B
所以 nxt[i] = nxt[nxt[i - 1]] + 1 = 2

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 5;
int read() {
	int x = 0, f = 0; char ch = 0;
	while (!isdigit(ch)) f |= ch == '-', ch = getchar();
	while (isdigit(ch)) x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48), ch = getchar();
	return f ? -x : x;
}
int nxt[N];
char t[N], p[N];
int nt, np;
void getnxt() {
	int i = 0, j = -1;
	nxt[0] = -1;
	while (i < np) {
		if (j == -1 || p[i] == p[j]) nxt[++i] = ++j;
		else j = nxt[j];
	}
}
void kmp() {
	int i = 0, j = 0;
	while (i < nt) {
		if (j == -1 || t[i] == p[j]) i++, j++; 
		else j = nxt[j];
		if (j == np) printf("%d\n", i - j + 1), j = nxt[j]; 
	}
}
int main(){
	scanf("%s%s", t, p);
	nt = strlen(t), np = strlen(p);
	getnxt(); kmp();
	for (int i = 1; i <= np; i++) printf("%d ", nxt[i]); 
	return 0;
}

update：这里给出一个更好的理解的 kmp，假设我们在 $s_1$ 处发现 $s_1\sim s_n$ 与 $t_1\sim t_n$ 匹配。现在要匹配 $s_2\sim s_n$ 与 $t_1\sim t_n$。因为 $s_1\sim s_n=t_1\sim t_n$ 所以 $s_2\sim s_n=t_2\sim t_n$，所以是匹配的是 $t_2\sim t_n$ 与 $t_1\sim t_n$。实际上就是求一个 $nxt$ 其中 $nx{t}_i$ 表示 $t_1\sim t_i$ 与 $t$ 的最长公共前缀。