BZOJ2118 墨墨的等式（同余最短路）

Description

给定 $a_1\sim a_n$ 和 $B$ 的取值范围 $[l,r]$。求有多少个 $B$ 满足有非负整数 $x_1\sim x_n$ 使得 $B={\sum }_{i=1}^n{a}_i{x}_i$。时间限制 10s。

$1\le n\le 12,0\le a_i\le 5\times 10^5,1\le l\le r\le 10^{12}$。

Solution

大大凯的疑惑？ 前版本为小凯的疑惑，跳楼机。

用最小的 $a_i$ 作为模数 $p$。如果一个 $B$ 有解那么 $B\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p+k\times p$ 也有解，其中 $k$ 是一个非负整数，它们同余。

所以用 $di{s}_i$ 为 $a_2\sim a_n$ 跑出最小解 $B$ 满足 $B\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p=i$。可以跑最短路求出。那么对于每一个 $i$，看看能加 $p$ 得到多少答案，根据加法原理将所有 $i$ 答案相加。

点有 $p-1$ 个而边的规模为 $n\times p$，所以时间复杂度为 $O(np\log np)$。可以用配对堆或斐波那契堆优化到 $O(n\log n+np)$。我用的 pb_ds 自带的配对堆，但是因为 10s 的时限用 priority_queue 也行。好像 spfa 也比较快。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#include <ext/pb_ds/priority_queue.hpp>
#define int long long
using namespace std;
using namespace __gnu_pbds;
typedef long long ll;
typedef __gnu_pbds :: priority_queue <pair<int, int>, greater<pair<int, int> > ,pairing_heap_tag> pair_heap;
const int N = 1e6 + 5, M = 1e7 + 5, INF = 0x3f3f3f3f;
inline int read() {
	int x = 0, f = 0; char ch = 0;
	while (!isdigit(ch)) f |= ch == '-', ch = getchar();
	while (isdigit(ch)) x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48), ch = getchar();
	return f ? -x : x;
}
int a[N];
int dis[N], n, l, r;
pair_heap :: point_iterator id[N];
void Dijkstra() {
	pair_heap q; memset(dis, 0x7f, sizeof(dis));
	dis[0] = 0; id[0] = q.push(make_pair(0, 0));
	while(!q.empty()) {
		int x = q.top().second; q.pop();
		for (int j = 2; j <= n; j++) {
			int y = (x + a[j]) % a[1];
			if (dis[y] > dis[x] + a[j]) {
				dis[y] = dis[x] + a[j];
				if (id[y] != NULL) q.modify(id[y], make_pair(dis[y], y));
				else id[y] = q.push(make_pair(dis[y], y));
			}
		}
		
	}
}
signed main() {
	n = read(), l = read() - 1, r = read();
	for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = read();
	sort(a + 1, a + n + 1);
	Dijkstra();
	int ans = 0;
	for (int i = 0; i < a[1]; i++) {
		if (dis[i] <= l) ans -= (l - dis[i]) / a[1] + 1;
		if (dis[i] <= r) ans += (r - dis[i]) / a[1] + 1;
	}
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}