cdq 分治

归并排序

void mergesort(int l, int r) {
	
	if (l >= r) return ;
	int mid = (l + r) >> 1;
	mergesort(l, mid), mergesort(mid + 1, r);
	int i = l, j = mid + 1, k = l;
	for (; i <= mid && j <= r; k++)
		if (a[i] <= a[j]) tmp[k] = a[i++];
		else tmp[k] = a[j++];
	if (i <= mid) for (; k <= r; k++) tmp[k] = a[i++];
	if (j <= r) for (; k <= r; k++) tmp[k] = a[j++];
	for (i = l; i <= r; i++) a[i] = tmp[i];
}

cdq 分治

cdq 分治是对时间分治，适用于影响独立的情况。

1. 递归处理左边。
2. 计算左边对右边带来的贡献。
3. 递归处理右边。

二维偏序

偏序问题都可以用 cdq 分治写。二位偏序的套路为先定第一维，在求第二维。

求逆序对和最长上升序列都是二维偏序。以逆序对为例，两维分别是 $i<j$ 和 $a_i>a_j$。那么以 $a_i$ 为第一关键字从大到小排序，定了第二维。再查询有多少个 $i>j$，用树状数组维护即可。这个过程反过来也可以。

三维偏序

有 $n$ 个元素, 第 $i$ 个元素有 $a_i,b_i,c_i$ 三个属性, 设 $f(i)$ 表示满足 $a_j\le a_i$ 且 $b_j\le b_i$ 且 $c_j\le c_i$ 且 $j\ne i$ 的 $j$ 的数量。
对于 $d\in [0,n),$ 求 $f(i)=d$ 的数量。

手画模拟一下过程

用归并排序的原因是 cdq 分治的递归和归并排序相似，可以降一个 $\log$。