20ZR暑期联赛班——图论

欧拉回路

P1341 无序字母对

给定 $n$ 个各不相同的无序字母对。请构造一个字典序最小的有 $(n+1)$ 个字母的字符串使得每个字母对都在这个字符串中出现。

给定的字母对两个字母必须连续出现，而且只出现一次。所以考虑将构成无序对的两个字母连无向边，如果构成的图是欧拉图，那么有解跑欧拉回路即可。因为要求字典序最小，所以每次先遍历小点再遍历大点，可以用一个堆维护。

CF547D Mike and Fish

给定平面上的 $n$ 个点的坐标，你需要将每一个点进行红蓝染色，满足任意一行一列红蓝点的数量之差最多为 $1$。$1\le n\le 2\times 10^5$

先对坐标离散化。对于一个点 $(x,y)$ 我们连一条 $x$ 到 $n+y$ 的边，那么问题转换成了给边定向，让每个点的入度和出度之差不超过一。分类一下，度数相同的在无向图上就是每个点的度数为偶数。度数差为一的在无向图上每个点的度数为奇数，那么再把这些奇数点连到虚拟点上，那么度数就是偶数了，再考虑虚拟点，因为奇数点个数一定为偶数，跑欧拉回路即可。

还有二分图染色的方法。将横纵坐标相同的点两两连边，构成了二分图，剩下的点最多一个不用管。然后进行二分图染色即可。女少口阿。

P4568 飞行路线

给定一张 $n$ 个点 $m$ 条边的带权无向图，你可以把至多 $k$ 条边的边权变成 $0$，求从 $s$ 到 $t$ 的最短路。$2\le n\le 10^4,1\le m\le 5\times 10^4,0\le k\le 10$。

分层图。设 $d_{i,j}$ 为到 $i$ 点用了 $j$ 次的最短路。

P2761 软件补丁问题

有一款软件有 $n$ 个 BUG，还有 $m$ 个补丁。 对于每一个补丁，都有两个 BUG 集合 $B_1,B_2,$ 表示只有当 这个软件包含了 $B_1$ 中的所有 BUG 而不包含 $B_2$ 中的任意一个 BUG 的时候，这个补丁才能使用。
对于每一个补丁，它会修复一个 BUG 集合 $F_1,$ 同时引人 另一个 BUG 集合 $F_2,$ 运行需要 $t$ 的时间。 求将所有 BUG 都修复需要的最短时间，无法修复输出 $-1$。

$1\le n\le 20,1\le m\le 100$

将 BUG 状压，把一个状压的状态看成一个点，如果通过一个补丁能从一个点到另一个点，那么就连边，边权为时间。跑 Dijkstra 即可。

生成树 瓶颈树 最短路树

最小生成树即为最小瓶颈树，最大生成树即为最大瓶颈树。

void Kruskal() {
	int ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) f[i] = i;
	sort(e + 1, e + tot + 1, cmp);
	int cnt = 0;
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		int x = e[i].x, y = e[i].y, z = e[i].z;
		int ux = find(x), uy = find(y);
		if (ux != uy) {
			ans += z; f[ux] = uy;
			if (++cnt == n - 1) break;	
		} 
	}
}

如果将一个点到其余所有点的最短路径保留，其它的删掉，那么构成了一棵树，这棵树叫最短路径树。

P1967 货车运输

一张 $n$ 个点 $m$ 条边的图，每一条边有一个限重。 现在有 $q$ 组询问，每次问你从 $u$ 到 $v$，在不超过限重的情况下，重量最大可以是多少。$n\le 10^4,m\le 5\times 10^4,q\le 3\times 10^4$

解法还是很多的，这里可以发现要让最小值尽可能大，所以建立一棵最大生成树。把路径用 lca 转一下即可。

P3953 逛公园

给你一张 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，问你从 $1$ 到 $n$ 与最短路的差不超过 $k$ 的路径有多少条。 可能有 $0$ 边，如果数量无限输出 $-1$。路径可以重复经过一个点。

$n\le 100000,m\le 200000,k\le 50$。

可以发现，合法路径有无限个当且仅当有一个全为 $0$ 的环中的一个点在最短路的路径上。先正反建边跑一下 dijkstra，令 $d_1$ 为 $1$ 的单源最短路，$d_2$ 为 $n$ 的单源最短路。对于一条边 $(u,v)$，如果有 $d(u)+d(v)=d_n$，这意味着 $w(u,v)=0$，那么把这条边加入新的图中。再拓扑排序判断有没有环，搞定了 $-1$。

$k$ 小，那么就分层图了。设 $f_{i,j}$ 为从 $1$ 到 $i$，与最短路差为 $j$ 的路径有多少条。用类似最短路松弛的方式计数转移即可。

CF1163F Indecisive Taxi Fee

3k 难度的神仙题，能学到不少套路。

给你一张 $n$ 个点 $m$ 条边的图，有 $q$ 次询问，每次问你如果更改一条边的边权，从 $1$ 到 $n$ 的最短路是多少。

容易想到正反建边，预处理处理从 $1$ 和从 $n$ 走的最短路径，分别为 $d_1$ 和 $d_2$。分类讨论一下，令改的是 $(a,b)$ 这条边

1. 改的边不在最短路上，且改大了。不用管。
2. 改的边不在最短路上，且改小了。拿 $d_1(a)+d_2(b)+w(a,b)$ 与原来的最短路取最小值。
3. 改的边在最短路上，且改大了。新的最短路有可能绕过被修改的边，好像不好搞先一放。
4. 改的边在最短路上，且改小了。在最短路的基础上减一下即可。

考虑第三类。如果把改的边删掉，求不经过这条边的最短路，与原来的最短路加改边产生的贡献取最小值即可。而且求不经过某条边的最短路会有多次询问。

先考虑经过一个点的最短路，可以删最短路上点的范围。

令最短路为 $E_1\sim E_k$，枚举一条边 $(u,v)$。经过 $(u,v)$ 的最短路径也会经过 $E_1\sim E_x$ 和 $E_y{\sim }_n$，相当于最短路的前缀和后缀或为空。那么考虑求 $x$ 和 $y$，可以在前面的第一次 Dijkstra 中，记录最短路的路径，在正反两向的 Dijkstra 分别求出每个点的 $x$ 和 $y$。如果能松弛，看看点在不在最短路径上，不在的话就继承父亲的 $x$ 或 $y$，正确性显然。因为最短路先松弛下标小的点，所以不用担心有另一个最短路的范围比我们求的大。

再考虑经过一条边允许删的点的范围，考虑边的两个点 $u,v$ 可能会有多个情况，所以范围是 $u_x+1\sim v_y-1$ 和 $v_x+1\sim u_y-1$。那么维护一棵 $1\sim k$ 的线段树，将这两段用 $d_1(u)+d_2(v)$ 更新最小值即可。查询时，找不包括给定边的两个点的所有区间的最小值。

细节多，时间复杂度 $O((m+q)\log n)$。确认了码量，是我调不出的题 /kk。

P1351 联合权值

无向连通图 $G$ 有 $n$ 个点，$n-1$ 条边。点从 $1$ 到 $n$ 依次编号，编号为 $i$ 的点的权值为 $W_i,$ 每条边的长度均为 $1$。图上两点 $(u,v)$ 的距离定义为 $u$ 点到 $v$ 点的最短距离。对于图 $G$ 上的点对 $(u,v),$ 若它们的距离为 $2$ 则它们之间会产生 $W_u\times W_v$ 的联合权值。请问图 $G$ 上所有可产生联合权值的有序点对中，联合权值最大的是多少? 所有联合权值之和是多少？$1\le n\le 200000$

枚举点对一定是不行的，有一个直接的思路是枚举 $(u,v)$ 中的一个，再去找另一个，可以通过，但造数据的不知道菊花图这东西。

那么可以树形 dp，这个和枚举中转点是相似的。考虑 $x$ 的儿子 $y_1\sim y_k$ 能找到那些点对。简单的是 $y_1\sim y_k$ 与 $x$ 的父亲组合，也可以从 $y_1\sim y_k$ 中随意选两个。但直接做的话还会倒在菊花图下。

考虑 $k=2$ 时 $y_1\times y_2=\frac{{(y_1+y_2)}^2-({y_1}^2+{y_2}^2)}{2}$。推下去发现 $y_1\sim y_k$ 的两两组合贡献为 $({\sum }_1^k{y}_i{)}^2-{\sum }_1^k{y}_i^2$。至此可以通过了。

P1983 车站分级

有 $n$ 个火车站，$m$ 批合法的车次的运行情况。每批车次的运行情况给定了始发站，终点站，途中停靠的车站。请你给每个车站分级，满足要求：如果一趟车停靠的火车站级别为 $x$，那么始发站终点站之间（包括）级别 $\ge x$ 的车站都要停靠。在该条件下，回答火车站至少分成几个级别。

对于给定的 $m$ 批车次，先建一个有向图，边的关系即题中的偏序关系，即为将有车停靠的站点连向所有没有车停靠的站点。如果有一条有向边 $(u,v)$ 那么 $u$ 必须在 $v$ 的前面，这不就是拓扑排序吗？所以一些比较复杂的偏序问题，可以转换到 DAG 上进行拓扑排序 + dp 试一试。

PS，暴力建图复杂度是 $O(n^{2}m)$ 的，需要信仰。考虑建立一个虚拟的中转点来优化建图，复杂度为 $O(nm)$。

P4643 阿狸和桃子的游戏

$$\text{Easy}=\text{NOI}$$

有一张 $n$ 个点 $m$ 条边的图，有点权和边权。先手后手轮流染黑白两色，最后的得分是自己染的点权和 $+$ 两端均为自己的颜色的边权和，双方采用最优策略，求先手的分数减去后手的分数。

不要想歪，这不可能是正儿八经的博弈论，这是联赛啊。先提一下，遇到点权和边权同时存在的题，尤其是其中一个的定义有点与众不同时，考虑能不能把点权和边权转化为一个东西，常为边权转点权。

如果一条边的两个端点同色，那么会给这两个点贡献，先让它平分给两个点。如果两个端点异色，那么两个点都没有贡献，发现平分的话抵消了。所以先把边权平分给点权，带个分数可以同时 $\times 2$。

那么将点权拍个序，从大到小交替贪心选即可。女少口啊。

P2680 运输计划

一株 $n$ 个点的树，给你 $m$ 条路径。 你需要选出一条边把边权改成 $0$，让这些路径长度的最大值最小。

二话不说，看到最大值最小先考虑二分。有的边已经满足条件了，不去管。那么要让其余的路径都减小到二分值及其以下，那么改的边要被其余的路径经过。假设有 $k$ 条路径超限制，那么把路径上的每个边的计数器累加，最后计数器为 $k$ 的取个最值。给定的是树，树上差分即可。

卡常差评。

CF1349C Orac and Game of Life

给定第 $0$ 时刻的 $n\times m$ 的 $01$ 矩阵。 每过一个时刻，$01$ 矩阵都会发生如下的变化：对于 $x$ 行第 $y$ 列的格子。若其上下左右四个方向中相邻的格子存在与其数字相同的格子，则此格子的数字在下一个时刻会取反。

有 $t$ 次询问。每次问你在第 $p$ 个时刻第 $x$ 行第 $y$ 列的格子上的数字是什么。

感觉一下，发现不断变化的位置的范围是在扩大的，而且扩大到一定程度就停下了。这样有点抽象，就拿良心的样例三试一试。

0 1 0 1 1
1 0 1 1 0
0 1 1 0 1
1 1 0 1 0
1 0 1 0 1

用 $0$ 表示不会变化，$1$ 表示在不断变化。那么范围随单位时间的扩大如下

0 0 0 1 1
0 0 1 1 0
0 1 1 0 0
1 1 0 0 0
1 0 0 0 0

0 0 1 1 1
0 1 1 1 1
1 1 1 1 0
1 1 1 0 0
1 1 0 0 0

可以大胆猜测，每次 $1$ 都会向四个方向扩展一次。所以一个 bfs 搞定。女少口β可。

CF209C Trails and Glades

给一张图，添加最少的边使得整张图存在一条 $1$ 为起始和结束点的欧拉回路。 $1\le n\le 10^6,0\le m\le 10^6$

遇到这类有多个连通块的，往往先考虑连通块内部的贡献，再考虑连通块间的贡献。

从欧拉回路的定义入手，对于一个连通块，将度数为奇数的点两两配对，可能剩下一个。所以先去考虑连通块的连接，优先把度数为奇数的点连起来，那么其余的奇点两两配对。最多剩下一个，这个点要连出两条边。

CF1311E Construct the Binary Tree

给定 $n$ 和 $d$，你需要构造一株 $n$ 个点的二叉树，满足所有点的深度之和恰好为 $d$。

先考虑深度最小的完全二叉树，如果 $d$ 比这个深度小那么直接不可能。否则对深度进行修改，找一个叶子节点到根的链，不断把深度最大的点挂在这条链的下面。还要输出方案，啊这。

P1979 华容道

给定一个 $n\times m$ 的棋盘，只有一个空的位置。剩下的有的是障碍，有的是可移动的棋子。给定一个棋子的初始位置和目标位置，求让这个棋子移动到目标位置至少要移动几次棋子，或者回答不可能。$1\le n,m\le 30,1\le q\le 500$

吐槽，这道题和图论关系不大啊。

数据范围这么小，先想爆搜，但棋子和空格可以一起走很烦。干脆 dp，设 $f_{i,j,x,y}$ 为棋子在 $(i,j)$，空格在 $(x,y)$ 的最少移动次数，枚举空格从哪移动过来的，如果空格与棋子相邻，还可以转移棋子。但是 $O(q{m}^2{n}^2)$ 会超时。

考虑空格与棋子相邻才有用，那么设 $f_{i,j,k}$ 为棋子在 $(i,j)$，空格在 $(i,j)$ 的上下左右的最少移动次数。不过这样可能没有初始状态，所以要用 bfs 预处理空格到棋子的上下左右要移动多少次即可。

CF875F Royal Questions

有 $n$ 个王子 $m$ 个公主，每一个公主喜欢其中两个王子，还有一个美丽度。 你需要将王子和公主配对，使得每一个公主都和自己喜欢的王子配对，并且配对的公主美丽度之和最大。

$n,m\le 200000$

带权二分图匹配板子！哦数据范围 2e5 那没事了。

可以发现有一个公主喜欢两个王子的条件，如果构图的话，每个连通块都是树或基环树。这其实是个模板，但是联赛基础不知道 /xk。先试一试对每个连通块讨论，好像行不通，那就从零开始加边吧。

加边前先按美丽度降序排序，对于边 $(u,v)$，两个端点 $u$ 和 $v$ 可能在一个连通块中也可能不在，可能在树上也可能在基环树上，那分类讨论，要维持一棵基环树的点数一直等于边数。

• 不连通，在两棵树中：加入这条边，得到一棵新的树。
• 不连通，在一棵树和一棵基环树中：加入这条边，得到一棵基环树。
• 不连通，在两棵基环树中：无法加入。
• 连通，在一棵树中：加入这条边，树变成基环树。
• 连通，在一棵基环树中：无法加入。

是不是和生成树有点像？这个模板就叫最大生成基环树，所以用并查集维护，多加一个 bool 数组来表示是不是基环树即可。