中国剩余定理 CRT

中国剩余定理给出了以下的同余方程组，假设 $m_1\sim m_n$ 两两互质，求 $x$ 满足
$$(S):\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_2)\\ ⋮\\ x\equiv a_n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_n)\end{array}$$
中国剩余定理构造如下

设 $M={\prod }_{i=1}^n{m}_i$，$M_i=\frac{M}{m_i}$。$t_i$ 为 $M_i$ 在模 $m_i$ 意义下的乘法逆元，即为 $M_i\times t_i\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i)$。

方程 $(S)$ 的通解公式为
$$x=kM+\sum _{i=1}^n{a}_i{t}_i{M}_i$$
如果 $k=0$，则 $x$ 为 $(S)$ 的最小解。

略证：对于 $a_i$ 和 $m_i$，有
$$t_i{M}_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i=1⟺a_i{t}_i{M}_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i=a_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i$$
对于 $a_j,m_j(j\ne i)$，有 $m_i|M_j$。所以 $a_j{t}_j{M}_j\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i=0$

对于 $kM$，同理 $kM\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i=0$。

综上所述，$x=kM+{\sum }_{i=1}^n{a}_i{t}_i{M}_i$ 为方程 $(S)$ 的通解。$k=0$ 时有最小解。

对于上述式子，$t_i$ 可以用 exgcd 求逆元的方法求。因为 $m_1\sim m_n$ 两两互质 ${\prod }_{j=1}^n{m}_j$ 在约去 $m_i$ 后为 $M_i$ 且与 $m_i$ 互质。