20ZR 普及普专题提高联测 部分题目

排列

请问有多少个长度为 $n$ 的排列 $P$ 满足 $|i-P_i|\le 1$，答案对 $998244353$ 取模。

考虑第 $i$ 个位置只有填 $i$ 或 $i-1$，所以矩阵加速求斐波那契数列。

游走

给定一棵 $n$ 个点的树，结点为 $1\sim n$。你在这棵树上游走，每一步可以走到和
你目前所在的点直接相连的点。请问你从 $1$ 号点出发移动 $m$ 步最多可以经过多
少个不同的节点？（重复经过只算一次）

显然我们走 $n$ 点再回到出发点，那么需要 $2n$ 次，那么最长的链我们先走，如果可以的话就好，不行的花那么就把最长的链放最后走。

for (int i = 1; i <= n; i++) maxn = max(maxn, dep[i]);
	if (maxn >= m) printf("%d\n", m + 1);
	else if (maxn + 2 * (n - maxn - 1) <= m) printf("%d\n", n);
	else printf("%d\n", maxn + (m - maxn) / 2 + 1);

覆盖

给定一棵 $n$ 个点的有根树，节点编号为 $1\sim n$，根节点为 $1$。你会不停地重复以下操作，直到所有点被覆盖为止：等概率随机树上的一个未被覆盖的点，并覆盖这个点到根路径上的所有点。请问你的期望操作次数是多少？为了避免高精度运算，你只需要输出答案对 $998244353$ 取模后的结果。

有一道类似的题 CF 280C 是一下删掉一个子树，而这个是删掉跟到它的路径上所有的点，是类似的。

回到这个题，求的是期望删多少次，因为期望可加所以就是求对于每个点期望删多少次才能删掉它，那么一个点被删了，那么它的祖先的操作次数就为 $0$ 了，那么期望显然是 $\frac{1}{sz}$，直接 $O(n)$ 求逆元但被卡常差评。

那么一下删一棵子树换成 $dep$ 即可。

区间