WC Day1 第一课堂 随机算法

设数组含有 $n$ 个不同元素，随即快速排序算法的期望比较次数
$$T(n)\le 2n\ln n$$
证明

显然随机选取的枢轴元素是等概率的。
$$\begin{gathered} T(n)=(n-1)+\sum _{i=0}^n\frac{1}{n}(T(i)+T(n-i+1)) \\ =(n-1)+\sum _{i=1}^n\frac{2}{n}T(i) \end{gathered}$$

在数组中查找第 $k$ 小的元素。

$$\begin{gathered} T(n)\le \frac{1}{n}(T(n-1)+T(n-2)+\cdots +T(\frac{n}{2}+1)+T(\frac{n}{2})+\cdots ) \\ \le \frac{2}{n}\sum _{i=\frac{n}{2}}^{n-1}T(i)+O(n) \end{gathered}$$

证明 $T(n)\le cn$。

k <- 1
count <- 0
while (k <= n) do
    for i <- 1 to n do
        检查相容性 (能不能放)
        如果相容将 i 加入 S
    if S 不等于 空集 then
    	j <- 从 S 随机选择一个元素 
        x[k] <- S[j] // 第 k 个皇后的列
        count++
        k++
    else k <- n+1
return count

LasVegas 随机算法

一般把算法的某步确定性选择变成随机选择。

一次运行可能得不到解，如果得到那么一定是正确的

可以与确定性算法相结合进行改进。

$p$ 为算法成功的概率。

$t$ 为找到一个解的平均时间。

$s$ 为成功搜索访问结点数的平均值，$e$ 为不成功。

$$t=ps+(1-p)(e+t)\Rightarrow t=s+e\frac{1-p}{p}$$

当 $n=12$ 时，$stopVegas=5$ 时算法效率最高。

Monte Carlo 随机算法

有时会给出错误的答案。

运行时间和出错概率都是随机变量，需要分析算法出错概率

主元素测试 有没有出现次数超过一半以上的元素

i <- random(1,n)
x <- T(i)
计数 x 在 T 中出现的个数 k
if (k > n / 2) return true
else return false

一次回答正确的概率 $>\frac{1}{2}$。

if Majority(T, n) return true;
else return Majority(T, n);

跑两次算法正确的概率为 $p+(1-p)p=1-{(1-p)}^2>\frac{3}{4}$。

调用 $k$ 次 Majority 算法的正确概率为，这是一个等比数列求和
$$\begin{gathered} p+(1-p)p+(1-p)p+{(1-p)}^{2}p+\cdots +(1-p{)}^{k-1}p \\ =1-{(1-p)}^k>1-2^{-k} \end{gathered}$$
调用 $4$ 次的概率达到了 $0.969$。

如果使出错的概率不超过 $\epsilon$，则调用的次数满足 $k\ge \lceil \log \frac{1}{\epsilon }\rceil$。

串相等测试 两个长串是否相等

A 用 $x$ 导出一个短串 $f(x)$ 发送给 $B$

B 用同样的方法导出相对于 $y$ 的短串 $f(y)$

B 比较 $f(x)$ 和 $f(y)$。

如果不相等，则 $x\ne y$ 否则不确定。

假设 $x$ 和 $y$ 都是二进制串，对应的正整数为 $I(x)$ 和 $I(y)$。

选择质数 $p$，指纹函数 $I_p(x)=I(x)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$。
$$\begin{array}{l}x=y\Rightarrow I_p(x)=I_p(y)\\ I_p(x)=I_p(y)\nRightarrow x=y\end{array}$$
改进方法：随机选择质数 $p$ 进行测试

出错的必要条件

• $x$ 和 $y$ 的位数相等
• $p|(I(x)-I(y))$ 即为同余

令 $\pi (t)$ 表示小于 $t$ 的质数个数。

素数定理 $\pi (t)\approx \frac{t}{\ln t}$

若 $k<2^n$ 且 $n$ 不太小，整除 $k$ 的素数个数 $\le \pi (n)$。

$M$ 为素数随机的范围
$$\begin{gathered} \frac{\left\{p\mid p{\text{是小于2}}^n\text{的素数 且 p 整除 }I(x)-I(y)\right\}\mid }{\pi (M)} \\ \le \frac{\pi (n)}{\pi (M)}\approx \frac{\frac{n}{\ln n}}{\frac{2n^2}{\ln \left(2n^2\right)}}\approx \frac{\frac{n}{\ln n}}{\frac{2n^2}{2\ln n}}\le \frac{1}{n} \end{gathered}$$
如果我们进行 $j$ 次测试。令 $j=\lceil \log \log n\rceil$，那么出错的概率为 $\frac{1}{n^{\lceil \log \log n\rceil }}$。

模式匹配 kmp AC 自动机 串比较的随机算法

Miller_Rabin

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