关于相似变换的专题讨论

$\bf命题：$设$A$为$n$阶复方阵，则存在$n$维向量$\alpha $，使得$\alpha,A\alpha,\cdots,A^{n-1}\alpha$线性无关的充要条件是$A$的任一特征根恰有一个线性无关的特征向量

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$\bf命题：$设${A_{n \times n}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{A_1}}&{{A_2}} \\ {{A_3}}&{{A_4}} \end{array}} \right)$，其中${{A_1}}$为$n-1$阶矩阵，若$A$有特征值${\lambda _1}, \cdots ,{\lambda _{n - 1}},0$，且$A$的最后一行是其余各行的线性组合，证明：存在列向量$b$，使得${{A_1} + {A_2}b'}$有特征值${\lambda _1}, \cdots ,{\lambda _{n - 1}}$

$\bf命题：$设$A \in {F^{n \times n}}$，且$A$的特征值为${\lambda _1}, \cdots ,{\lambda _n}$，则存在可逆阵$R$，使得${R^{ - 1}}AR$为上三角阵

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