关于相似标准形的专题讨论
相似对角化
$\bf命题：$设$n$阶方阵$A$特征值互异，且$B$与$A$有相同特征值，则存在可逆阵$P$及矩阵$Q$，使得$A = PQ,B = QP$
$\bf命题：$设$A,B \in {R^{2 \times 2}}$，且${A^2} = {B^2} = E,AB + BA = 0$，则存在可逆阵$P$，使得
\[{P^{ - 1}}AP = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0 \\
0&{ - 1}
\end{array}} \right),{P^{ - 1}}BP = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0&1 \\
1&0
\end{array}} \right)\]
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$\bf命题：$设$A$是秩为$r$的$n$阶幂等阵，则对于$1 < s \le n - r$的任意整数$s$，存在$n$阶矩阵$B$，使得$AB=BA=0$，且\[{\left( {A + B} \right)^{s + 1}} = {\left( {A + B} \right)^s} \ne {\left( {A + B} \right)^{s - 1}}\]
$\bf命题：$设$n$阶方阵$A$满足${A^2} = kA\left( {k \ne 0} \right),r\left( A \right) = r$，则存在可逆阵$P$，使得${P^{ - 1}}AP = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{k{E_r}}&0 \\ 0&0 \end{array}} \right)$
$\bf命题：$设$A \in {M_n}\left( F \right)$，且$A$可对角化，定义$\sigma \left( X \right) = AX - XA$，则$\sigma$是一个可对角化的线性变换
$\bf命题：$设$A$为$n$阶实对称阵，$\sigma$为${R^{n \times n}}$上的线性变换，定义$\sigma \left( X \right) = AX + XA,\forall X \in {R^{n \times n}}$，则$\sigma$的矩阵相似于对角阵
$\bf命题：$设$\mathcal{A}$是数域$P$上的$n$维线性空间$V$上的线性变换，$\alpha \in V,\beta$是$\mathcal{A}$的特征向量，$\alpha,\beta$线性无关，$\mathcal{A}\alpha = k\alpha + l\beta \left( {k,l \in P,l \ne 0} \right)$，证明：
(1)若$\beta$所属特征值为$k$，则$\mathcal{A}$的矩阵必非对角形
(2)若$\mathcal{A}$的矩阵可成对角形，则$\alpha$必可表示为两个属于不同特征值的特征向量之和
$\bf(14浙大五)$设$X \in {F^{m \times n}},Y \in {F^{n \times n}},YX = {E_n},A = {E_m} + XY$，则$A$相似于对角阵
$\bf(首都师大十)$设$A$为$n$阶非零实矩阵，且存在实数$c,d$，使得${A^2} = cA,cd \ne - 1$，证明：$E + dA$可逆
正交相似标准形
$\bf命题：$设$A,B$实对称且$A$正定，则$AB$相似于对角阵
$\bf命题：$设$M = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}A&B \\ {B'}&C \end{array}} \right)$正定，${M^{ - 1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}D&F \\ {F'}&G \end{array}} \right)$，$A,D$同阶，证明：$\left| A \right|\left| D \right| \geqslant 1$，其中等号成立当且仅当$B=0$
$\bf命题：$设$A$为$n$阶实对称阵，则存在充分小的正数$\varepsilon $，使得$E + \varepsilon A$为正定阵，进而存在充分大的正数$m$，使得$mE+A$为正定阵
$\bf命题：$
$\bf(14南大五)$设$A,B\in {R^{n \times n}}$，且$AB,BA$均对称，证明：存在正交阵$T$，使得${T^{ - 1}}ABT = BA$
若当标准形
$\bf命题：$设$r\left( {{A^k}} \right) = r\left( {{A^{k + 1}}} \right)$，证明：若$A$有零特征值，则零特征值对应的初等因子次数不超过$k$
$\bf命题：$设$A$为$n$阶方阵，$a$为$A$的特征值，且是$A$的最小多项式的${m_a}$重根，则$${m_a} = \min \left\{ {k|r{{\left( {aE - A} \right)}^k} = r{{\left( {aE - A} \right)}^{k + 1}}} \right\}$$
$\bf命题：$矩阵$A$相似于对角阵的充要条件是对每个特征根$\lambda $，都有$r\left( {\lambda E - A} \right) = r{\left( {\lambda E - A} \right)^2}$
$\bf命题：$设$A$为$n$阶方阵，其特征多项式$f\left( \lambda \right) = {\left( {\lambda - {\mu _1}} \right)^{{r_1}}} \cdots {\left( {\lambda - {\mu _s}} \right)^{{r_s}}}$，其中${\mu _1}, \cdots ,{\mu _s}$为不同的复数，证明：存在多项式$g(x)$，使得\[{\left( {\lambda - {\mu _j}} \right)^{{r_j}}}|\left( {g\left( \lambda \right) - {\mu _j}} \right),j = 1, \cdots ,s\]且$g(A)$相似于对角阵，$g(A)-A$为幂零阵
$\bf命题：$设$n$阶矩阵$A,B$满足：$r(A)=n-1,AB=BA=0$，求证：$B$是$A$的多项式
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$\bf命题：$实矩阵$A$的特征值全为实数的充要条件是存在正交阵$Q$，使得${Q^{ - 1}}AQ$为上三角阵
$\bf命题：$已知$A$为数域$P$上3阶方阵，${\lambda _0}$为$A$的特征多项式的三重根，
证明：当$r\left( {A - {\lambda _0}E} \right) = 1$时，${A - {\lambda _0}E}$的非零列向量是$A$属于${\lambda _0}$的一个特征向量
$\bf（09浙大七）$设$A$为$n$阶复方阵，零为$A$的$k$重特征值，则$r\left( {{A^k}} \right) = n - k$
$\bf（11中科院七）$设$A$为$n$阶矩阵，其特征多项式有如下分解\[f\left( \lambda \right) = \left| {\lambda E - A} \right| = {\left( {\lambda - {\lambda _1}} \right)^{{r_1}}}{\left( {\lambda - {\lambda _2}} \right)^{{r_2}}} \cdots {\left( {\lambda - {\lambda _s}} \right)^{{r_s}}}\]
其中${{\lambda _i}}$互不相同，则$A$的$Jordan$标准形中以${{\lambda _i}}$为特征值的$Jordan$块的个数等于特征子空间${V_{{\lambda _i}}}$的维数
附录1(同时相似对角化)
$\bf命题：$设$A,B \in {M_n}\left( F\right)$，且矩阵$A$各特征值互异，若$AB=BA$，则$A,B$可同时相似对角化
$\bf命题：$设$A,B \in {M_n}\left( F\right)$，且$A,B$均可对角化，若$AB=BA$，则$A,B$可同时相似对角化
$\bf命题：$设$A,B$均为$n$阶实对称阵，若$AB = BA$，则存在正交阵$Q$，使得${Q^{ - 1}}AQ,{Q^{ - 1}}BQ$可同时相似对角化
附录2(有理标准形)
$\bf命题：$设$n$维线性空间$V$的线性变换$\sigma$的最小多项式与特征多项式相同，则存在$\alpha \in V$，使得$\alpha ,\sigma \left( \alpha \right), \cdots ,{\sigma ^{n - 1}}\left( \alpha \right)$为$V$的一组基
$\bf命题：$线性变换$\sigma$的最小多项式与特征多项式相同的充要条件为其特征子空间都是一维的
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$\bf命题：$当$A$为$n$阶若当块或特征值互不相同的$n$阶对角阵时，试证：存在向量$\alpha$，使得$\alpha ,A\alpha , \cdots ,{A^{n - 1}}\alpha $线性无关；当$A$的特征多项式等于最小多项式时，再证上述结论
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$\bf(14北大四)$设$V$为$n$维线性空间，线性变换$\mathscr{A}$的最小多项式是$n$次的
(1)证明：存在向量$\alpha$，使得$\alpha,\mathscr{A} \alpha,\cdots ,{\mathscr{A}^{n - 1}} \alpha$为$V$的一组基
(2)任何与$\mathscr{A}$可交换的线性变换，可表示为$\mathscr{A}$的多项式
