300. 最长递增子序列

题目链接：300. 最长递增子序列

方法：动态规划

解题思路

• 状态表示：\(dp[]\)
  • 集合：表示以 \(i\) 结尾的所有递增子序列；
  • 属性：\(dp[i]\) 表示集合中最长子序列的长度。
• 状态计算：
  • 集合划分：枚举以 \(i\) 结尾的所有递增子序列的其前一个元素可能的下标 [0, i - 1]，将其划分为以 \(i\) 结尾的所有递增子序列中前一个元素是 \(j\)的集合，\(0 <= j <= i - 1, nums[j] < nums[i]\)。
  • \(dp[i] = max\{dp[j] + 1, 1\}\)

代码

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        int dp[n]; memset(dp, 0, sizeof(dp));
        dp[0] = 1;
        int ans = 1;
        for (int i = 1; i < n; i ++ ) {
            dp[i] = 1;
            for (int j = 0; j < i; j ++ ) {
                if (nums[i] > nums[j]) {
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
                }
            }
            ans = max(ans, dp[i]);
        }
        return ans;
    }
};

优化解法：单调 + 二分

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        int ans = 0, q[n + 1]; memset(q, 0, sizeof(q));
        q[0] = -2e9;
        for (int i = 0; i < n; i ++ ) {
            int l = 0, r = ans;
            while (l < r) {
                int mid = l + r + 1 >> 1;
                if (q[mid] < nums[i]) l = mid;
                else r = mid - 1;
            }
            ans = max(ans, r + 1);
            q[r + 1] = nums[i];
        }
        return ans;
    }
};

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        int ans = 0, q[n + 1]; memset(q, 0, sizeof(q));
        q[0] = -2e9;
        for (int i = 0; i < n; i ++ ) {
            int idx = lower_bound(q, q + ans + 1, nums[i]) - q;
            ans = max(ans, idx);
            q[idx] = nums[i];
        }
        return ans;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：\(dp\)—\(O(n^2)\)，优化—\(O(nlogn)\)；
空间复杂度：\(O(n)\)。