1250. 检查「好数组」

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方法：最大公约数gcd

裴蜀定理简介

（1）若 \(a,b\) 是整数，且 \(gcd(a,b)=d\)，那么对于任意的整数 \(x，y\)，\(ax + by\) 都一定是 \(d\) 的倍数，特别地，一定存在整数 \(x，y\)，使 \(ax+by=d\) 成立。
（2）推论：\(a,b\) 互质gcd(a,b)=1的充分必要条件是存在整数 \(x，y\) 使 \(ax+by=1\)。

解题思路

（1）对于本题来说，若数组 \(nums\)中，存在 \(gcd(x1, ..., xn)=1，n >= 2\)，则原数组为好数组。又因为一旦数组中有子集的 \(gcd=1\)，那么整个数组的 \(gcd=1\)，两者为充分必要条件。
（2）问题转化：若数组 \(nums\) 中一旦有元素的 \(gcd=1\)，则原数组为好数组，否则不是。

代码

class Solution {
public:
    bool isGoodArray(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size() - 1, ans = 0;
        while (n >= 0) {
            ans = gcd(ans, nums[n -- ]);
            if (ans == 1) return true;
        }
        return false;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：\(O(n + logM)\)，\(n\) 为 \(nums\) 数组的长度，\(M=max(nums)\)， 因为其中 \(ans\) 的值单调不增，所以总的 \(gcd\) 时间复杂度为 \(O(logM)\)。;
空间复杂度：\(O(1)\)。