常用组合恒等式
常用组合恒等式
- 恒等式 1
\[{n\choose k}={n\choose n-k} \\
\]
- 恒等式 2
\[{n\choose k}=\frac{n}{k}{n-1\choose k-1} \\
\]
- 杨辉三角
\[{n\choose k}={n-1\choose k}+{n-1\choose k-1} \\
\]
- 简单和
\[\sum\limits_{k=1}^n {n\choose k}=2^n \\
\]
- 交错和
\[\sum\limits_{k=0}^n (-1)^k{n\choose k}=0 \\
\]
- 变下项求和 1
\[\sum\limits_{k=0}^n k{n\choose k}=n2^{n-1} \\
\]
- 变下项求和 2
\[\sum\limits_{k=0}^n k^2{n\choose k}=n(n+1)2^{n-2} \\
\]
- 变上项求和
\[\sum\limits_{i=0}^n {i\choose k}={n+1\choose k+1} \\
\]
- 范德蒙德卷积
\[\sum\limits_{i=0}^k{n\choose i}{m\choose k-i}={n+m\choose k}
\]
- 恒等式 10
\[{n\choose m}{m\choose k}={n\choose k}{n-m\choose m-k}
\]
